Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°08

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Problème 1 – CCP MP Maths 2 2012�

� Dans tout le problème,𝑛est un entier naturel supérieur ou égal à2. Cet entier est quelconque sauf dans la partie I, où il est égal à2.

On noteℳ_𝑛(ℝ)l’algèbre des matrices carrées d’ordre𝑛à coefficients réels,(E_𝑖,𝑗)sa base canonique (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛et1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛) etI_𝑛 sa matrice unité (tous les coefficients deE_𝑖,𝑗sont nuls, sauf celui situé à la𝑖^eligne et à la𝑗^ecolonne, qui vaut1).

On noteℝ[X]l’algèbre des polynômes à coefficients réels.

Dans tout le problème,Aest une matrice quelconque deℳ_𝑛(ℝ)et𝑢l’endomorphisme deℝ^𝑛canoniquement associé à la matriceA.

Pour tout P =

𝑑

∑

𝑘=0

𝑎_𝑘X^𝑘 ∈ ℝ[X], on note P(A) =

𝑑

∑

𝑘=0

𝑎_𝑘A^𝑘. L’ensemble des matrices P(A) pour tout P ∈ ℝ[X]est notéℝ[A].

On dit quePannuleAlorsqueP(A) = 0, ce qui équivaut àP(𝑢) = 0. On appelle polynôme minimal de la matriceAle polynôme minimal de l’endomorphisme𝑢; c’est donc le polynôme unitaire de plus petit degré qui annuleA.

On noteϕ_Al’application deℳ_𝑛(ℝ)dansℳ_𝑛(ℝ)définie par : ϕ_A(M) = AM − MA

L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés des éléments propres deϕ_A. Les parties I et II étudient la diagonalisabilité deϕ_A, les parties III et IV en étudient les vecteurs propres.

Les quatre parties sont indépendantes.

Partie I. Etude du cas 𝑛 = 2

Dans toute cette partie, on prendra𝑛 = 2.

1 Vérifier que l’applicationϕ_Aest linéaire et queI₂etAappartiennent à kerϕ_A. Dans la suite de cette partie, on poseA = (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) ∈ ℳ₂(ℝ).

2 Donner la matrice deϕ_Adans la base(E_1,1, E_2,2, E_1,2, E_2,1)deℳ₂(ℝ).

Dans la suite de cette partie, on suppose queϕ_A≠ 0(c’est-à-dire queA ≠ λI₂pour toutλ ∈ ℝ).

3 Donner le polynôme caractéristique deϕ_Asous forme factorisée (on pourra utiliser la calculatrice).

4 En déduire queϕ_Aest diagonalisable si et seulement si(𝑑 − 𝑎)²+ 4𝑏𝑐 > 0.

5 Démontrer queϕ_Aest diagonalisable si et seulement siAest diagonalisable.

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Partie II. Etude du cas général

On note𝑐 = (𝑐1, … , 𝑐_𝑛)la base canonique deℝ^𝑛. 6 On suppose dans cette question queAest diagonalisable.

On note𝑒 = (𝑒1, … , 𝑒_𝑛)une base de vecteurs propres de𝑢(défini au début du problème) et, pour tout entier𝑖 tel que1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,λ_𝑖la valeur propre associée au vecteur𝑒_𝑖. On note alorsPla matrice de passage de la base

𝑐à la base𝑒etD =

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎝

λ₁ 0 … 0 0 ⋱ ⋱ ⋮

⋮ ⋱ ⋱ 0 0 … 0 λ_𝑛

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎠ .

Enfin, pour tout couple(𝑖, 𝑗)d’entiers tels que1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛et1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, on pose : B_𝑖,𝑗= PE_𝑖,𝑗P⁻¹

6.a Exprimer, pour tout couple(𝑖, 𝑗), la matriceDE_𝑖,𝑗− E_𝑖,𝑗Den fonction de la matriceE_𝑖,𝑗et des réelsλ_𝑖 etλ_𝑗.

6.b Démontrer que, pour tout couple(𝑖, 𝑗),B_𝑖,𝑗est un vecteur propre deϕ_A. 6.c En déduire queϕ_Aest diagonalisable.

7 On suppose dans cette question queϕ_Aest diagonalisable en tant qu’endomorphisme deℳ_𝑛(ℝ).

On note(P_𝑖,𝑗)_{1≤𝑖≤𝑛}

1≤𝑗≤𝑛

une base de vecteurs propres deϕ_Aet, pour tout couple(𝑖, 𝑗),λ_𝑖,𝑗la valeur propre associée àP_𝑖,𝑗.

7.a Dans cette question, on considère Acomme une matrice à coefficients complexes (A ∈ ℳ𝑛(ℝ) ⊂ ℳ_𝑛(ℂ)) etϕ_Acomme un endomorphisme deℳ_𝑛(ℂ)(défini parϕ_A(M) = AM − MApour toutM ∈ ℳ_𝑛(ℂ)).

7.a.i Justifier que toutes les valeurs propres deϕ_Asont réelles.

7.a.ii Soit𝑧 ∈ ℂ. Justifier que si𝑧est une valeur propre deA, alors𝑧est aussi une valeur propre de A^⊤.

7.a.iii Soit 𝑧 ∈ ℂ. On suppose que𝑧et𝑧 sont deux valeurs propres de la matriceA. On considère alorsX ∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)(X ≠ 0) etY ∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)(Y ≠ 0) tels queAX = 𝑧XetA^⊤Y = 𝑧Y.

En calculantϕ_A(XY^⊤), démontrer que𝑧 − 𝑧est une valeur propre deϕ_A. 7.b En déduire que la matriceAa au moins une valeur propre réelle.

On noteλune valeur propre réelle deAetX ∈ ℳ_𝑛,1(ℝ)(X ≠ 0) une matrice colonne telle queAX = λX.

7.c Démontrer que, pour tout couple(𝑖, 𝑗), il existe un réelμ_𝑖,𝑗, que l’on exprimera en fonction deλetλ_𝑖,𝑗, tel queAP_𝑖,𝑗X = μ_𝑖,𝑗P_𝑖,𝑗X.

7.d En déduire queAest diagonalisable.

Partie III. Etude des vecteurs propres de ϕ

associés à la valeur propre 0

Soit𝑚le degré du polynôme minimal deA.

8 Démontrer que la famille(I_𝑛, A, … , A^𝑚−1)est une base deℝ[A].

9 Vérifier queℝ[A]est inclus dans kerϕ_Aet en déduire une minoration de dim kerϕ_A. 10 Un cas d’égalité

On suppose que l’endomorphisme𝑢(défini au début du problème) est nilpotent d’indice𝑛(c’est-à-dire que 𝑢^𝑛 = 0et𝑢^𝑛−1 ≠ 0). On considère un vecteur𝑦de ℝ^𝑛 tel que𝑢^𝑛−1(𝑦) ≠ 0et, pour tout entier𝑖 tel que 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, on pose𝑒_𝑖= 𝑢^𝑛−𝑖(𝑦).

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10.a Démontrer que la famille(𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑛)est une base deℝ^𝑛.

10.b SoientB ∈kerϕ_Aet𝑣l’endomorphisme deℝ^𝑛canoniquement associé àB. Démontrer que si𝑣(𝑦) =

𝑛

∑

𝑖=1

α_𝑖𝑒_𝑖(α_𝑖∈ ℝ) alors𝑣 =

𝑛

∑

𝑖=1

α_𝑖𝑢^𝑛−𝑖. 10.c En déduire kerϕ_A.

11 Cas où𝑢est diagonalisable

On suppose que𝑢est diagonalisable. On noteλ₁, λ₂, … , λ_𝑝(1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛) les𝑝valeurs propres distinctes de𝑢 et, pour tout entier𝑘tel que1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝,E_ᵆ(λ_𝑘)le sous-espace propre associé à la valeur propreλ_𝑘. On note 𝑚_𝑘la dimension de cet espace propre.

11.a SoientB ∈ ℳ_𝑛(ℝ)et𝑣l’endomorphisme deℝ^𝑛canoniquement associé àB. Démontrer queB ∈kerϕ_A si et seulement si, pour tout entier𝑘tel que1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝,E_ᵆ(λ_𝑘)est stable par𝑣(c’est-à-dire𝑣 (Eᵆ(λ_𝑘)) ⊂ E_ᵆ(λ_𝑘)).

11.b En déduire queB ∈kerϕ_Asi et seulement si la matrice de𝑣, dans une base adaptée à la décomposition deℝ^𝑛en somme directe des sous-espaces propres de𝑢, a une forme que l’on précisera.

11.c Préciser la dimension de kerϕ_A.

11.d Lorsque𝑛 = 7, donner toutes les valeurs possibles pour cette dimension en envisageant les différentes valeurs possibles de𝑝et des𝑚_𝑘(on ne demande pas de justification).

Partie IV. Etude des vecteurs propres de ϕ

associés à une valeur propre non nulle

Dans cette partie, αest une valeur propre non nulle deϕ_A etBun vecteur propre associé (B ∈ ℳ𝑛(ℝ), B ≠ 0). On noteπ_Ble polynôme minimal deBet𝑑le degré deπ_B.

12 Démontrer que, pour tout𝑘 ∈ ℕ,ϕ_A(B^𝑘) = α𝑘B^𝑘.

13 SoitP ∈ ℝ[X]. Exprimerϕ_A(P(B))en fonction deα,BetP^′(B).

14 Démontrer que le polynôme Xπ^′_B − 𝑑π_B est le polynôme nul (π^′_B étant le polynôme dérivé du polynôme minimal de la matriceB).

15 En déduire queB^𝑑= 0.

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