© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir à la maison n°05
• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.
• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.
• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.
Exercice 1 ★★★ Norme‖.‖𝑝
Pour𝑝 ∈ ℝ∗+, on convient que0𝑝= 0et on pose
∀𝑥 ∈ 𝕂𝑛, ‖𝑥‖𝑝= (
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘|𝑝)
1 𝑝
Pour(𝑥, 𝑦) ∈ (𝕂𝑛)2, on posera𝑥.𝑦 = (𝑥1𝑦1, … , 𝑥𝑛𝑦𝑛).
1. Soit𝑝 ∈ ℝ∗+. Montrer que‖.‖𝑝vérifie les propriétés de séparation et d’homogénéité.
2. Soit(𝑝, 𝑞) ∈ (ℝ∗+)2tel que 1 𝑝+ 1
𝑞 = 1.
a. En utilisant la concavité de ln, montrer que pour tout(𝑢, 𝑣) ∈ (ℝ+)2,𝑢𝑣 ≤ 𝑢𝑝 𝑝 +𝑣𝑞
𝑞 .
b. En déduire que pour(𝑥, 𝑦) ∈ (𝕂𝑛)2,‖𝑥.𝑦‖1≤ ‖𝑥‖𝑝‖𝑦‖𝑞. On pourra d’abord traiter le cas où‖𝑥‖𝑝=
‖𝑦‖𝑞= 1.
3. Soit𝑝 ∈ [1, +∞[. Montrer que‖.‖𝑝vérifie l’inégalité triangulaire. On pourra remarquer pour(𝑥, 𝑦) ∈ (𝕂𝑛)2,
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘+ 𝑦𝑘|𝑝≤
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑥𝑘||𝑥𝑘+ 𝑦𝑘|𝑝−1+
𝑛
∑
𝑘=1
|𝑦𝑘||𝑥𝑘+ 𝑦𝑘|𝑝−1
4. a. Soit𝑝 ∈ ℝ∗+. Montrer que pour tout𝑥 ∈ 𝕂𝑛,‖𝑥‖∞≤ ‖𝑥‖𝑝.
b. Soit(𝑝, 𝑞) ∈ (ℝ∗+)2tel que𝑝 < 𝑞. Montrer que pour tout𝑥 ∈ 𝕂𝑛,‖𝑥‖𝑞 ≤ ‖𝑥‖𝑝, puis déterminer sup
𝑥∈𝕂𝑛⧵{0}
‖𝑥‖𝑞
‖𝑥‖𝑝.
5. a. Soit(𝑝, 𝑞, 𝑟) ∈ (ℝ∗+)2tel que 1 𝑝 +1
𝑞 = 1
𝑟. Montrer que pour(𝑥, 𝑦) ∈ (𝕂𝑛)2
‖𝑥.𝑦‖𝑟≤ ‖𝑥‖𝑝‖𝑦‖𝑞 b. Soit(𝑝, 𝑞) ∈ (ℝ∗+)2tel que𝑝 < 𝑞. Montrer que pour tout𝑥 ∈ 𝕂𝑛,
‖𝑥‖𝑝≤ 𝑛
1 𝑝−1
𝑞‖𝑥‖𝑞
puis déterminer sup
𝑥∈𝕂𝑛⧵{0}
‖𝑥‖𝑝
‖𝑥‖𝑞. 6. Soit𝑥 ∈ 𝕂𝑛. Montrer que‖𝑥‖∞= lim
𝑝→+∞‖𝑥‖𝑝.
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Exercice 2 ★★★ Norme‖.‖𝑝
On poseE = 𝒞([𝑎, 𝑏], 𝕂)et pour𝑝 ∈ ℝ∗+, on convient que0𝑝= 0et on pose
∀𝑓 ∈ E, ‖𝑓‖𝑝= (∫
𝑏
𝑎
|𝑓(𝑡)|𝑝 d𝑡)
1 𝑝
1. Soit𝑝 ∈ ℝ∗+. Montrer que‖.‖𝑝vérifie les propriétés de séparation et d’homogénéité.
2. Soit(𝑝, 𝑞) ∈ (ℝ∗+)2tel que 1 𝑝+ 1
𝑞 = 1.
a. En utilisant la concavité de ln, montrer que pour tout(𝑢, 𝑣) ∈ (ℝ+)2,𝑢𝑣 ≤ 𝑢𝑝 𝑝 +𝑣𝑞
𝑞 .
b. En déduire que pour (𝑓, 𝑔) ∈ E2,‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖𝑝‖𝑔‖𝑞. On pourra d’abord traiter le cas où‖𝑓‖𝑝 =
‖𝑔‖𝑞= 1.
3. Soit𝑝 ∈ [1, +∞[. Montrer que‖.‖𝑝vérifie l’inégalité triangulaire. On pourra remarquer pour(𝑓, 𝑔) ∈ E2,
∫
𝑏
𝑎
|𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)|𝑝 d𝑡 ≤ ∫𝑏
𝑎
|𝑓(𝑡)||𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)|𝑝−1 d𝑡 + ∫𝑏
𝑎
|𝑔(𝑡)||𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)|𝑝−1 d𝑡 4. a. Soit𝑝 ∈ ℝ∗+. Pour𝑛 ∈ ℕ∗, on définit𝑓𝑛 ∈ Een posant
𝑓𝑛(𝑡) = {1 − 𝑛𝑡 − 𝑎
𝑏 − 𝑎 si𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 𝑛
0 sinon
Calculer‖𝑓𝑛‖𝑝.
b. Soit(𝑝, 𝑞) ∈ (ℝ∗+)2tel que𝑝 < 𝑞. Déterminer sup
𝑓∈E⧵{0}
‖𝑓‖𝑞
‖𝑓‖𝑝. 5. a. Soit(𝑝, 𝑞, 𝑟) ∈ (ℝ∗+)2tel que 1
𝑝 +1 𝑞 = 1
𝑟. Montrer que pour(𝑓, 𝑔) ∈ E2,‖𝑓𝑔‖𝑟≤ ‖𝑓‖𝑝‖𝑔‖𝑞. b. Soit(𝑝, 𝑞) ∈ (ℝ∗+)2tel que𝑝 < 𝑞. Montrer que pour tout𝑓 ∈ E,
‖𝑓‖𝑝≤ (𝑏 − 𝑎)
1 𝑝−1
𝑞‖𝑓‖𝑞
puis déterminer sup
𝑓∈E⧵{0}
‖𝑓‖𝑝
‖𝑓‖𝑞. 6. Soit𝑓 ∈ E. Montrer que‖𝑓‖∞= lim
𝑝→+∞‖𝑓‖𝑝.
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