Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°04

• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

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Problème 1 – Intégrales de Wallis et formule de Stirling�

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Partie I – Intégrales de Wallis On pose pour tout𝑛 ∈ ℕ,

I_𝑛 = ∫

π 2 0

sin^𝑛(𝑥)𝑑𝑥

1. CalculerI₀etI₁.

2. En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entreI_𝑛etI_𝑛+2. 3. En déduire une expression deI_2𝑛etI_2𝑛+1pour tout𝑛 ∈ ℕà l’aide de factorielles.

4. Vérifier que(I_𝑛)_𝑛≥0est décroissante. En déduire que 𝑛 + 1

𝑛 + 2I_𝑛 ≤ I_𝑛+1≤ I_𝑛 pour tout𝑛 ∈ ℕ.

5. Démontrer queI_𝑛+1 ∼

𝑛→+∞I_𝑛.

6. Établir que pour tout𝑛 ∈ ℕ,(𝑛 + 1)I_𝑛+1I_𝑛 = π 2. 7. En déduire queI_𝑛 ∼

𝑛→+∞√ π 2𝑛.

Partie II – Formule de Stirling On pose pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗,𝑢_𝑛 = 𝑛^𝑛𝑒^−𝑛√𝑛

𝑛! . 1. Pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗, on pose𝑣_𝑛=ln𝑢_𝑛+1

𝑢_𝑛 . Montrer que𝑣_𝑛 =

𝑛→+∞𝒪 (1 𝑛²).

2. En déduire que(𝑢_𝑛)converge vers une certaine limiteℓ ∈ ℝ^∗₊. 3. Montrer queℓ = 1

√2π et en déduire un équivalent de𝑛!.

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