Exercices de démonstrations par récurrence I

Exercices de démonstrations par récurrence

I

On définit, pour tout entiernÊ1, len^enombre tri- angulaire part_n=1+2+ ··· +n=n(n+1)

2 .

Démontrer que, pour entiernÊ1, on a :

n

X

k=1

t_k=n(n+1)(n+2)

6 .

II

Démontrer par récurrence que pour tout entier nÊ1 , on a :

S_n= 1

1×2+ 1

2×3+ 1

3×4+ ··· + 1

n(n+1)=1− 1 n+1

III

La suite de Fibonacci est la suite (F_n)_n∈N définie parF₁=F₂=1 et, pour tout entier naturelnnon nul,

F_n+2=F_n+1+F_n.

Démontrer par récurrence surnque, pour tout entier naturelnnon nul :

F₁²+F₂²+ ··· +F_n²=F_n×F_n+1.

IV

Démontrer que, pour tout entier naturel n, l’entier 3²ⁿ−2ⁿest un multiple de 7.

V

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 0 et pour toutn∈N:u_n+1=

r1+u_n 2 .

Montrer, par récurrence, que pour toutnÊ1 on a : p1

2Éu_nÉ1

VI

Soit f la fonction définie par f(x)= 1

1−x pour toutx6=1.

Démontrer que, pour tout entiernÊ1, f⁽ⁿ⁾(x)= n!

(1−x)ⁿ⁺¹ oùf⁽ⁿ⁾désigne la dérivée n-ième def et

n!=1×2×3× ··· ×n

VII

Soit (un) la suite définie par u0=2 et, pour tout n∈N,u_n+1=2u_n−n.

Démontrer que, pour toutn,u_n=2ⁿ+n+1.

VIII

Montrer que la suite (u_n) définie paru₀=1,u₁=1 et, pour toutn∈N, paru_n+2=2u_n+1−u_n−2 est mo- notone.

IX

Montrer que, pour tout entiernÊ1 , Xn

k=1

k×k!=(n+1)!−1 .

.