Correction des exercices de démonstrations par récurrence
I
On définit, pour tout entiernÊ1, lenenombre triangulaire partn=1+2+ ··· +n=n(n+1)
2 .
Démontrer que, pour entiernÊ1, on a : Xn k=1
tk=n(n+1)(n+2)
6 .
On notePnla propriété : « Xn k=1
tk=n(n+1)(n+2)
6 », pournÊ1 Démontrons-la par récurrence
• Initialisation : Pourn=1, n(n+1)(n+2)
6 =1×2×3
6 =1 ett1=1 donc la propriété est vraie pourn=1.
• Hérédité : on supposePnvraie pour un rentiernquelconque, donc Xn k=1
tk=n(n+1)(n+2)
6 .
Alors :
n+1X
k=1
tk= Xn k=1
tk+tn+1=n(n+1)(n+2)
6 +(n+1)(n+2)
2 =n(n+1)(n+2)
6 +3(n+1)(n+2) 6
=(n+1)(n+2)[n+3]
6 =(n+1)[(n+1)+1][(n+1)+2]
6 , c.q.f.d.
La propriété est héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
II
Démontrer par récurrence que pour tout entiernÊ1 , on a : Sn= 1
1×2+ 1
2×3+ 1
3×4+ ··· + 1
n(n+1)=1− 1 n+1
• Initialisation : Pourn=1,S1=1
2e t1− 1
n+1=1−1 2=1
2donc la propriété est vraie pour n=1.
• Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un rangnquelconque, doncSn=1− 1 n+1. Alors :Sn+1=Sn+ 1
(n+1)(n+2)=1− 1
n+1+ 1
(n+1)(n+2)=1− (n+2)−1
(n+1)(n+2)=1− n+1
(n+1)(n+2)=1− 1 n+2 c/q.f.d.
La propriété est héréditaire
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
III
La suite de Fibonacci est la suite (Fn)n∈Ndéfinie parF1=F2=1 et, pour tout entier naturelnnon nul, Fn+2=Fn+1+Fn.
Démontrer par récurrence surnque, pour tout entier naturelnnon nul : F12+F22+ ··· +Fn2=Fn×Fn+1.
• Initialisation : Pourn=1,F12=12=1 etF1F2=1×1=1 doncF12=F1×F2; la propriété est vraie pourn=1.
• Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un rangnquelconque, doncF12+ ··· +Fn2=Fn×Fn+1. Au rangn+1 :
F12+F22+···+Fn2+Fn+12 =£
F12+F22+ ··· +Fn2¤
+Fn+12 =Fn×Fn+1+Fn+12 =Fn×Fn+1+Fn+12 =Fn+1[Fn+Fn+1]= Fn+1×Fn+2 .
La propriété est héréditaire
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
IV
Démontrer que, pour tout entier naturel n, l’entier 32n−2nest un multiple de 7.
SoitPnla propriété : « 32n−2n=7kn»,kn∈Z. Effectuons une démonstration par récurrence :
• Initialisation : Pourn=0, 30−20=1−1=0=7×0=7×k0aveck0=0∈Z. La propriété est vraie pourn=0
• Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un rangn quelconque, donc 32n−2n =7kn, kn∈Z, donc 32n=2n+7kn
Alors, au rangn+1 :
32(n+1)−2n+1=32n×32−2n+1=9×32n−2n+1=9ס
2n+7kn¢
−2×2n=(9−2)×2n+9×7kn=7×2n+9×7kn= 7¡
2n+kn¢
=7×kn+1en posantkn+1=2n+kn∈Z. La propriété est héréditaire
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
V
On considère la suite (un) définie paru0=0 et pour toutn∈N:un+1=
r1+un 2 . Montrer, par récurrence, que pour toutnÊ1 on a :
p1
2ÉunÉ1 Effectuons une démonstration par récurrence :
• Initialisation :Pourn=1 :u1= r1
2= 1
p2donc la proprété est vraie pourn=1.
• Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un rangnquelconque, donc 1
p2ÉunÉ1.
Alors : 1
p2ÉunÉ12⇒1+ 1
p2É1+unÉ2⇒1 2+ 2
2p
2⇒+un
2 É1⇒1
2É+un
2 É1 (car 1 2É1
2+ 1 2p
2).
D’où, puisque la fonctionxömapst op
xest croissante : p1
2⇒
r1+un
2 =un+1Ép
1=1 c.q.f.d La propriété est héréditaire
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
VI
Soitf la fonction définie parf(x)= 1
1−x pour toutx6=1.
Démontrer que, pour tout entiernÊ1,
f(n)(x)= n!
(1−x)n+1
oùf(n)désigne la dérivée n-ième def et n!=1×2×3× ··· ×n
On corrigera cet exercice dans le chapitre sur la dérivation.
VII
Soit (un) la suite définie paru0=2 et, pour toutn∈N,un+1=2un−n.
Démontrer que, pour toutn,un=2n+n+1.
Démonstration par récurrence :
• Iniialisation : Pourn=0 :u0=2 et 2n+n+1=20+0+1=1+1=2 donc la propriété est vraie pourn=0.
• Hérédité : on suppose la propriété vraie pour un rangnquelconque doncun=2n+n+1.
Au rangn+1 :un+1=2un−n=2ס
2n+n+1¢
− =2n+1+2n+2−n=2n+1+n+2 c.q.f.d. La propriété est héréditaire
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
VIII
Montrer que la suite (un) définie paru0=1,u1=1 et, pour toutn ∈N , par un+2 =2un+1−un−2 est monotone.
Montrons que la suite est décroissante.
Montrons queun+1−unÉ0 pour toutn.
• initialisation :u0=u1=1 donc c’est vrai pourn=0
• Hérédité : on suppose queun+1−unÉ0 pour un entiernquelconque.
Au rangn+1 :
un+2−un+1=[2un+1−un−2]−un+1=un+1−un−2=[un+1−un]
| {z }
É0
−2É0.
La propriété est héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1.
IX
Montrer que, pour tout entiernÊ1 , Xn k=1
k×k!=(n+1)!−1 .
• initialisation : X1 k=1
k×k!=1×1!=1×1=1 et (1+1)!−1=2!−1=2−1=1.
La propriété est vraie pourn=1 ?
• Hérédité : on suppose que Xn k=1
k×k!=(n+1)!−1 pour un entiernquelconque.
Au rangn+1 :
n+1
X
k=1
k×k!= Xn k=1
k×k!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!−1+(n+1)(n+1)!=(n+1)! [(n+1)+1]=1= (n+1)!×(n+2)−1=(n+2)!−1. c.q.f.d La propriété est héréditaire.
D’après l’axiome de récurrence, a propriété est vraie pour toutnÊ1. .
