DS 1 : Correction récurrence.

DS 1 : Correction récurrence.

Question de cours :

a) Démontrez par récurrence que :

∀n∈N, 3ⁿ>¹+2n b) Soitx∈[−1,+∞[. Démontrez par récurrence que :

∀n∈N, (1+x)ⁿ>¹+nx

Exercice 1.

½ u₀= −5 u_n+1=³₅u_n+2 On décide d’étudier le comportement de cette suite.

1. Étude graphique.

a. Représenter graphiquement les premiers termes de cette suite sur le graphique ci-dessous :

b. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement de cette suite ? Il semble que cette suite soit croissante et elle semble converger vers 5.

2. Récurrence :

a. Montrer par récurrence :

Pn: ∀n∈N,−56^un6^un+16⁵ Initialisation : u₁=3

5×(−5)+2= −1. Donc−56^u06^u16^{5. DoncP}0est vrai.

Hérédité : Soitn∈N. Supposons quePnvrai. Alors :

−56^un6^un+16⁵⇔3

5×(−5)6³

5×u_n6³

5u_n+16³

5×5⇔ −16³

5×u_n+26³

5×u_n+1+26⁵⇔ −56^un+16^un+26⁵ On a montré par récurrence que :

∀n/i nN,−56^un6^un+16⁵ b. Que peut-on en déduire ?

On peut donc en déduire que la suite (u_n) estcroissanteetmajoréepar 5.

3. Dans cette question, on étudie la suite (v_n) par :

∀n∈N,v_n=5−u_n

1

a. Interpréter graphiquement les termes de cette suite.

Cette suite permet d’étudier la distance entreu_net 5.

b. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison3 5. vn+1=5−un+1=5−

µ3 5un+2

¶

=3−3

5un=3−3

5(5−vn)=3−3+3 5vn=3

5vn

On (vn) est la suite géométrique de premier termev0=5−u0=10 et de raisonq=³₅.

c. Exprimer, pour toutn∈N,vnen fonction den. En déduire l’expression deunen fonction den. v_n=v₀×qⁿ=10×

µ3 5

¶n

donc u_n=5−10× µ3

5

¶n

4. On souhaite déterminer la valeur à partir de laquellev_nest inférieur à 10⁻². a. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous :

N←0 U← −5 V←10

Tant que V>^10−2faire U←³₅u_n+2 V←5−U N←N+1 Fin Tant que Afficher N

b. A l’aide de la calculatrice déterminer la valeur affichée par l’algorithme précédent. La calculatrice afficheraN =14 (On observe queu₁₃'4, 9869 etu₁₄'4, 9922)

Exercice 2.

1. Calculer la somme suivante, sachant que les termes de cette somme sont les termes d’une suite arithmétique. Ici le nombre de terme est :17−(−73)

3 +1=31

S= −73−70−...+17=−73+17

2 ×31=868 2. Déterminer l’entierntel que :

4+5+...+n=19104=4+n

2 ×(n−4+1)

| {z }

nb de termes

=n²+n−12

2 ⇔n²+n−38220=0⇔n²=38223⇔n=195 oun= −196

| {z }

Impossible

3. On considère une suite arithmétique telle queu₃=0 et S=

26

X

k=3

u_k=u₃+u₄+...+u₂₆=0+(26−3)r

2 ×(26−3+1)

| {z }

nb de termes

=12×23r==276⇔r= 276 12×23=1 Déterminer la raison de cette suite.

Exercice 3.

2×4+ 1

4×6+...+ 1 2n×(2n+2)=

n

X

k=1

1

2k×(2k+2)= n 4(n+1) On a formule de récurrence :

S_n+1= 1 2×4+ 1

4×6+...+ 1

2n×(2n+2)+ 1

2(n+1)×(2(n+1)+2)=

n+1X

k=1

1

2k×(2k+2)=S_n+ 1 4(n+1)×(n+2)

2

Initialisation : Pourn=1.

S1= 1 2×4=1

8 et 1

4(1+1)=1 8 DoncP₁est vrai.

Hérédité : Soitn∈N^∗. SupposonsP_n, c’est-à-direS_n= n 4(n+1).

S_n+1=S_n+ 1

4(n+1)×(n+2)= n

4(n+1)+ 1

4(n+1)×(n+2)= n×(n+2)+1

4(n+1)×(n+2)= n²+2n+1

4(n+1)×(n+2)= (n+1)²

4(n+1)×(n+2)= n+1 4×(n+2) On a montrer par récurrence que :

∀x∈N^∗, §_n= n 4(n+1)

Exercice 4.

On souhaite démontrer que l’expression des termes de la suite (u_n) en fonction denpournentier naturel, est donnée par : u_n=(n−1)(n−4)

2 Pour cela nous utiliserons deux méthodes.

1. Démontrer cette formule par récurrence.

Initialisation : Pourn=0.

u₀=2 et (0−1)(0−4)

2 =2

DoncP0est vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsP_n, c’est-à-direu_n=(n−1)(n−4)

2 .

un+1=un+n−2=(n−1)(n−4)

2 +n−2=n²−5n+4+2n−4

2 =n(n−3)

2 On a montrer par récurrence que :

∀x∈N,u_n=(n−1)(n−4) 2

2. Dans cette question, l’on considère la suite auxiliaire (v_n) telle que, pour toutnappartenant àN,v_n=u_n+1−u_n. a. Montrer que la suite (v_n) est arithmétique.

v_n=u_n+1−u_n=n−2 Donc (v_n) est une suite arithmétique de premier termev₀= −2 et de raison 1.

b. Pourn∈N^∗, la sommeS_n=v₀+v₁+...+v_n−1. Montrer que, pour toutn∈N^∗, l’on a :

Sn=u1−u0+u2−u1+u3−u2+...+un−1−un₂+un−un₁=un−u0

c. Calculer cette somme d’une autre manière.

On utilise la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique. On obtient : S_n=v₀+v_n−1

2 ×n=−2+n−3

2 n=n²−5n 2 d. Comparer les deux expressions obtenues et conclure. Donc :

u_n−u₀=n²−5n

2 ⇒u_n=n²−5n

2 +2=n²−5n+4

2 =(n−1)(n−4) 2

Exercice 5.

2+u²_n. 1. Déterminer la valeur deu1. On au1=

q

2+u²₀=p

3'1, 71.

3

2. Montrer par récurrence que :

∀n∈N, 06^un6^un+1

Initialisation : Pourn=0.

u₀=16^u1=p 3 DoncP₀est vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsPn, c’est-à-dire 06^un6^un+1.

06^un6^un+1⇔06^u2n6^u2_n+1⇔26²+u²_n6⁰6+u²_n+1⇔p 26

q

2+u²_n6 q

2+u²_n+1⇔06^un+16^un+2

On a montrer par récurrence que :

∀x∈N, 06^un6^un+1

3. Que peut-on en déduire ? La suite (u_n) est donc croissante.

4. Montrer par récurrence que :

∀n∈N,u_n=p 2n+1 Initialisation : Pourn=0.

u0=16^p2×0+1=1 DoncP₀est vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsP_n, c’est-à-direu_n=p 2n+1.

un+1= q

2+u_n²=p

2+2n+1=p

2(n+1)+1 On a montrer par récurrence que :

∀x∈N,u_n=p 2n+1

4