Exercices : Récurrence, sommes et produits

ECS1

Exercices : Récurrence, sommes et produits

Exercice 1. Soit la fonctiong : R → R

x 7→ (x−1)e^−x . On dénit la fonctiong⁽ⁿ⁾comme la dérivéen-ième de g (obtenue en dérivantg nfois). Démontrer que :

∀x∈R, g⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ(x−n−1)e^−x.

Exercice 2. Soitf une fonction strictement croissante de NdansN. Montrer que∀n∈N, f(n)>n.

Exercice 3. Soit(un)_n∈N la suite réelle dénie paru0= 2,u1= 7etun+2= 7un+1−10un. Montrer que, pour toutn∈N,

un= 2ⁿ+ 5ⁿ.

Exercice 4 (Polynôme de Tchebychev). On considère la suite de fonctions polynomiales dénie parT₀(X) = 1, T₁(X) =X et pour toutn∈N^∗,

Tn+1(X) = 2XTn(X)−T_n−1(X).

1. CalculerT2(X)et T3(X).

2. Montrer queTn est un polynôme dont on déterminera le degré et le coecient dominant.

Exercice 5. Soitn∈Netα∈R. Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies ? Pourquoi ? 1.

n

X

k=1

(α+ak) =α+

n

X

i=1

ai 2.

n

X

k=1

(ak+bk) =

n

X

k=1

ak+

n

X

j=1

bj 3.

n

X

k=1

αak=α

n

X

k=1

ak

4.

n

X

k=1

a^α_k =

n

X

k=1

a_k

!α

5.

n

X

k=1

a_kb_k =

n

X

k=1

a_k

! _n X

k=1

b_k

!

Exercice 6. Soitn∈N^∗et x∈R. Calculer les sommes suivantes : 1.

n−1

X

k=1

x^k 2.

n

X

k=0

1

2^k 3.

n

X

k=0

−1 3

^k+1

4.

n

X

k=1

6 2^k

Exercice 7. Soitn∈N. Calculer les sommes suivantes (on donnera le résultat sous forme factorisée) : 1.

n

X

k=2

k(1−k) 2.

n

X

k=1

(n−k)k² 3.

n

X

k=0

1−k

n

4.

n

X

k=1

ln k+ 2

k

Exercice 8. Déterminer deux réels A et B tels que ∀k ∈N, _k(k+1)¹ = ^A_k +_k+1^B . Pourn ∈ N, en déduire la valeur de

n

X

k=1

1 k(k+ 1).

Exercice 9. Soitn∈N. Calculer

n

X

k=1

(k×k!). Indication :k=k+ 1−1.

Exercice 10. Pourn∈N^∗, calculer les sommes à double indice suivantes :

1. X

16i,j6n

(i+j) 2. X

16i<j6n

(i+j) 3. X

06i6k6n

i

k+ 1 4. X

16i,j6n

min (i, j)

Exercice 11. Soitn∈N^∗, etα∈R. Parmi les formules suivantes, lesquelles sont vraies ? Pourquoi ? 1.

n

Y

k=1

(αak) =α

n

Y

k=1

ak 2.

n

Y

k=1

(akbk) =

n

Y

k=1

ak

! _n Y

k=1

bk

!

3.

n

Y

k=1

(ak+bk) =

n

Y

k=1

ak+

n

Y

k=1

bk

Exercice 12. Soitnun entier naturel. Calculer le produit Y

16i,j6n

ij.

Exercice 13. Soit(u_n)_n∈N la suite dénie paru₀= 1,u₁= 0et∀n∈N,u_n+2= (n+ 1)(u_n+1+u_n). Montrer que pour toutnentier naturel,

u_n=n!

n

X

k=0

(−1)^k k! .

Exercice 14. Démontrer par récurrence que pour tout entiernnon nul :

n

Y

k=1

(2k)!>((n+ 1)!)ⁿ.