Partie 1. Suite de Sturm.

MPSI B Année 2019-2020. DS 6 le 28/02/20 24 avril 2020

Exercice

SoitA= (X+ 1)²ⁿ−1∈R[X]. On note ¹le polynôme à coecients réels P_n =

n

Y

k=1

sinkπ

2n, Q_n =

2n−1

Y

k=1

sinkπ 2n.

1. Montrer que l'on peut écrireA=XBoùBest un polynôme dont on précisera le degré, le coecient dominant et le coecient notéb₀du terme de degré 0.

2. Déterminer les racines deAdansC.

3. Montrer que

Pn=

2n−1

Y

k=n+1

sinkπ 2n. En déduire queP_n=√

Q_n.

4. Calculer de deux façons le produit des racines deB. En déduireQ_n puisP_n. 5. Déterminer la décomposition en éléments simples complexes deF = 1

A.

Problème 1

Partie 1. Suite de Sturm.

SoitP ∈R[X]sans racine multiple.

On noteP0 =P, P1 =P⁰, P2,· · ·, Pm6= 0_R[X], Pm+1 = 0_R[X] les polynômes obtenus par l'algorithme d'Euclide. On dénit des polynômesf0, f1, f2,· · · , fm par :

f₀=P₀=P, f₁=P₁=P⁰, f₂=−P₂, f₃=−P₃, f₄=P₄, f₅=P₅, · · · et ainsi de suite en alternant les signes par groupes de 2.

Ces polynômes constituent la suite de Sturm deP. 1. Justier quedeg(Pm) = 0.

2. Montrer qu'il existe des fonctions polynomialesg1,· · · , gm telles que

∀i∈J1, m−1K, fi−1=gifi−fi+1.

Comment s'expriment lesg_iavec les quotients des divisions euclidiennes de l'algorithme d'Euclide ?

1d'après Mines d'Albi 2000

3. Montrer que∀x∈R, ∀i∈J0, m−1K: fi(x)6= 0 oufi+1(x)6= 0.

4. Soitξ∈Reti∈J1, m−1Ktels quefi(ξ) = 0. Montrer que f_i−1(ξ)fi+1(ξ)<0.

Partie 2. Nombre de changements de signe.

On noteZ0 l'ensemble des racines réelles def0et Z l'ensemble des racines réelles de tous lesfi.

∀x∈R, x∈ Z ⇔ ∃i∈J0, mKtqfi(x) = 0.

Pour x∈R\ Z, la suite (f0(x), f1(x),· · ·, fm(x))ne prend pas la valeur0. On noteV(x) son nombre de changements de signe c'est à dire

V(x) = Card{i∈J0, m−1Ktqfi(x)fi+1(x)<0}. 1. Montrer que

∀x∈R\ Z, V(x) = 1 2

m−1

X

i=0

f_i+1(x)

|fi+1(x)|− f_i(x)

|fi(x)|

.

En déduire que la fonctionV est constante dans chacun des intervalles qui constituent R\ Z et que, pour toutξ∈ Z, elle admet des limites strictement à gauche et à droite deξ. On les note

V₋(ξ) = lim

x→ξ x<ξ

V(x), V₊(ξ) = lim

x→ξ ξ<x

V(x).

2. a. Soitξ∈ Z0. Montrer que V+(ξ) =V₋(ξ)−1. b. Soitξ∈ Z \ Z0. Montrer queV₊(ξ) =V₋(ξ).

c. Soit aet b dans R\ Z avec a < b. Montrer que V(a)−V(b) est le nombre de racines réelles deP dans[a, b].

3. Justier queV admet des limites nies (notées V(+∞) et V(−∞)) en +∞ et −∞. Comment peut-on exprimer ces limites avec la liste des coecients dominants desfi? 4. Dans cette question seulement on suppose queP peut admettre des racines multiples.

On dénit les polynômesf0, f1, f2,· · · comme dans la partie 1.

Montrer quefmdivise tous les fi.

On noteφi le polynôme quotient tel quefi=φifmet, pourx∈R\ Z, on désigne par W(x)le nombre de changement de signe dans la famille(φ0(x), φ1(x),· · ·, φm(x)). Montrer que les résultats des questions 1, 2.a, 2.b restent valables avecW. Que devient le résultat de 2.c ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai S1906E

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Partie 3. Application.

SoitP=X⁴+X³−X−1.

1. Eectuer les divisions euclidiennes suivantes : a. X⁴+X³−X−1par4X³+ 3X²−1. b. 4X³+ 3X²−1parX²+ 4X+ 5.

c. X²+ 4X+ 5parX+ 2.

2. Appliquer l'algorithme d'Euclide à(P, P⁰). En déduire que les racines deP sont simples et former sa suite de Sturm.

3. En utilisant la suite de Sturm, calculer le nombre de racines dans[0,2], dansR.

4. Vérier les résultats de la question précédente en factorisantP après avoir trouvé des racines évidentes.

Problème 2

Dans tout le problème,n∈N^∗ est xé etE=Rn[X]. On dénit la fonctionf dansEpar :

∀U ∈E, f(U) =XU−1

n(X²−1)U⁰ oùU⁰ désigne la dérivée deU.

Pour tous B∈E et λ∈R, on dit queB est un polynôme propre de valeur propre λsi et seulement si

B6= 0E etf(B) =λB.

1. a. Vérier quef est linéaire. Calculerf(Xⁱ)pouri∈J0, nK.

b. Montrer quef est à valeurs dansE.

2. SoitB un polynôme propre de valeur propreλ. Montrer queB est de degré n. 3. SoitBun polynôme propre de valeur propre1. Montrer que−1est racine deB. Quelle

est sa multiplicité ?

4. Étudier de même le cas oùB est un polynôme propre de valeur propre−1.

5. On suppose ici queB est un polynôme propre de valeur propre λ /∈ {−1,1}. Montrer que−1 et1 sont racines deB. On notek⁺ la multiplicité de1et k⁻ celle de−1. On pose

B= (X−1)^k+(X+ 1)^k−AavecA∈E.

Montrer quek⁺+k⁻=n. Exprimerλen fonction dek⁺ et n.

6. Montrer qu'il existe une base deE formée de polynômes propres pourf.

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