Exercices supplémentaires sur la récurrence

Exercices supplémentaires sur la récurrence

Exercice 1 :

On considère la suite (𝑢#) définie pour tout entier 𝑛 par : 𝑢& = 1 et 𝑢#)*= ^*₊𝑢_#+ 𝑛 − 2.

a) Calculer 𝑢_*, 𝑢_/ et 𝑢₊.

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier 𝑛 ≥ 4, 𝑢_# ≥ 0.

Corrigé de l’exercice 1 :

a) 𝑢_* =^*₊𝑢_&+ 0 − 2 = ^*₊× 1 + 0 − 2 =^*₊− 2 =^*₊−⁴₊= −⁵₊ < 0 𝑢_/ = ^*₊𝑢_*+ 1 − 2 = ^*₊× 7−⁵₊8 − 1 = −⁵₉−⁹₉= −^*:₉ < 0 𝑢₊ = ^*₊𝑢_/+ 2 − 2 =^*₊× 7−^*:₉8 = −^*:_/;< 0

b) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ (avec 𝑛 ≥ 4), appelons 𝑃(𝑛) la propriété : «𝑢# ≥ 0 »

§ Initialisation : pour 𝑛 = 4

𝑢_: = ^*₊𝑢₊+ 3 − 2 =^*₊× 7−^*:_/;8 + 1 = −^*:_@*+^@*_@*= ^4;_@*≥ 0 donc 𝑃(4) est vraie.

§ Hérédité : supposons qu’il existe un entier 𝑘 ≥ 4 tel que 𝑃(𝑘) est vraie, c’est-à-dire : 𝑢_B ≥ 0

On a donc 𝑢_B ≥ 0 par hypothèse de récurrence, D’où ^*₊𝑢_B ≥ ^*

+× 0 = 0 (car on multiplie par ^*₊> 0)

Donc ^*₊𝑢_B+ 𝑘 − 2 ≥ 𝑘 − 2 (car on ajouter 𝑘 − 2 à chaque membre).

D’où 𝑢_B)*= ^*₊𝑢_B+ 𝑘 − 2 ≥ 𝑘 − 2 ≥ 4 − 2 car 𝑘 ≥ 4 Ainsi 𝑢B)* ≥ 2 ≥ 0 Donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.

§ Conclusion : 𝑃 a été initialisée en 4, 𝑃 est héréditaire à partir de 4, donc d’après le raisonnement par récurrence, pour tout 𝑛 entier supérieur ou égal à 4, 𝑢_# ≥ 0.

Exercice 2 :

Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛 non- nul : 𝑥^# − 1 = (𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^#F*)

Indication pour l’hérédité : on remarquera que : 𝑥^B)*− 1 = 𝑥^B)*− 𝑥^B+ 𝑥^B− 1 Corrigé de l’exercice 2 :

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ^∗, appelons 𝑃(𝑛) la propriété :

«𝑥^#− 1 = (𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^#F*)»

§ Initialisation : pour 𝑛 = 1

𝑥^*− 1 = 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1) × (1) donc 𝑃(1) est vraie.

§ Hérédité : supposons qu’il existe un entier 𝑘 ≥ 1 tel que 𝑃(𝑘) est vraie, c’est-à-dire : 𝑥^B− 1 = (𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^BF*) (c’est l’hypothèse de récurrence)

Alors 𝑥^B)*− 1 = 𝑥^B)*− 𝑥^B+ 𝒙^𝒌− 𝟏 d’après l’indication

= 𝑥^B)*− 𝑥^B+(𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^BF*) par hypothèse de récurrence

= 𝑥^B(𝑥 − 1) +(𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^BF*) en factorisant les 2 premiers termes par 𝑥^B

= (𝑥 − 1)(𝑥^B+ 1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^BF*) en factorisant le tout par (𝑥 − 1)

= (𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^BF*+ 𝑥^B) en remettant les termes dans l’ordre

Donc 𝑃(𝑘 + 1) est vraie.

§ Conclusion : 𝑃 a été initialisée en 1, 𝑃 est héréditaire à partir de 1, donc d’après le raisonnement par récurrence, pour tout 𝑛 entier non-nul,

𝑥^#− 1 = (𝑥 − 1)(1 + 𝑥 + 𝑥^/+ ⋯ + 𝑥^#F*)