Enoncé

© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville

Devoir à la maison n°06

• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.

• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.

• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.

�

Problème 1 – CCP PC Maths I 2013�

� L’objectif du problème est d’étudier des conditions pour que deux matrices admettent unvecteur propre communet d’en déduire uneforme normale pour des vecteurs propres.Les partiesIetIIItraitent chacune de cas particuliers en dimension 3 et𝑛. Elles sont indépendantes l’une de l’autre. La partieIIaborde la situation générale en faisant apparaître une condition nécessaire et certaines autres conditions suffisantes à l’existence d’un vecteur propre commun.

Les partiesII,IIIetIVsont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.

Il est demandé, lorsqu’un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d’indi- quer précisément le numéro de la question utilisée.

PourM ∈ ℳ_𝑛(𝕂)etλ ∈ 𝕂, on note :

Ker(M) = {X ∈ ℳ𝑛,1(𝕂), MX = 0}

Im(M) = {MX, X ∈ ℳ𝑛,1(𝕂)}

Sp(M)le spectre deM E_λ(M) =Ker(M − λI_𝑛) Imλ(M) =Im(M − λI_𝑛)

Soient(A, B) ∈ ℳ_𝑛(𝕂)². On définit[A, B] ∈ ℳ_𝑛(𝕂)par la formule :[A, B] = AB − BA.

Soient𝑓et𝑔,deux endomorphismes d’un𝕂-espace vectorielEet𝑒 ∈ E. On définit l’endomorphisme[𝑓, 𝑔]

deEpar la formule :[𝑓, 𝑔] = 𝑓 ∘ 𝑔 − 𝑔 ∘ 𝑓.

Partie I – Etude dans un cas particulier On considère les matrices suivantes :

A =

⎛

⎜⎜

⎝

0 −1 −1

−1 0 −1

−1 −1 0

⎞

⎟⎟

⎠

B =

⎛

⎜⎜

⎝

3 −3 −1 0 2 0 1 −3 1

⎞

⎟⎟

⎠

C =

⎛

⎜⎜

⎝

−5 3 −1

−2 6 2

−5 3 −1

⎞

⎟⎟

⎠

D =

⎛

⎜⎜

⎝

0 0 0 0 6 0 0 0 −6

⎞

⎟⎟

⎠

On noteℱ = (𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃)où𝑢₁=

⎛

⎜⎜

⎝ 1 0

−1

⎞

⎟⎟

⎠ ,𝑢₂ =

⎛

⎜⎜

⎝ 0 1

−1

⎞

⎟⎟

⎠

et𝑢₃=

⎛

⎜⎜

⎝ 1 1 1

⎞

⎟⎟

⎠ .

On note aussi𝑢₄ =

⎛

⎜⎜

⎝ 1 0 1

⎞

⎟⎟

⎠

et𝑢₅=

⎛

⎜⎜

⎝ 1 1

−2

⎞

⎟⎟

⎠ .

I.1 I.1.a Déterminer le spectre deA.

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I.1.b Vérifier que la familleℱest une base deℳ_3,1(ℝ)constituée de vecteurs propres deA.

I.1.c Aest-elle diagonalisable?

I.1.d Montrer qu’aucun des éléments deℱn’est un vecteur propre commun àAetB.

I.2 I.2.a Déterminer le spectre deB.

I.2.b Montrer que Im2(B) =vect(𝑢4)et que dim(E2(B)) = 2.

I.2.c Best-elle diagonalisable?

I.3 I.3.a Montrer queE₁(A) ∩ E₂(B) =vect(𝑢5).

I.3.b Déterminer tous les vecteurs propres communs àAetB.

I.4 I.4.a Vérifier que[A, B] = C.

I.4.b Montrer queCest semblable à la matriceDet déterminer le rang deC.

Partie II – Condition nécessaire et conditions suffisantes Soit𝑛 ∈ ℕ^∗et soit(A, B) ∈ (ℳ_𝑛(𝕂))².

II.1 Dans cette question, on suppose que𝑒est un vecteur propre commun àAetB.

II.1.a Montrer que𝑒 ∈Ker([A, B]).

II.1.b Vérifier que rg([A, B]) < 𝑛.

Dans toute la suite de cette partieII, on suppose que𝕂 = ℂ.

On dit queAetBvérifient lapropriétéℋs’il existeλ ∈Sp(A)tel que : E_λ(A) ⊂Ker([A, B])

II.2 Montrer que si[A, B] = 0,alorsAetBvérifient la propriétéℋ.

II.3 Dans cette question, on suppose queAetBvérifient la propriétéℋ.

II.3.a Pour tout X ∈ E_λ(A), on poseψ(X) = BX. Montrer queψ définit un endomorphisme de E_λ(A).

II.3.b En déduire l’existence d’un vecteur propre commun àAetB.

Pour𝑘 ∈ ℕ^∗,on note𝒫_𝑘la propriété suivante:

Pour toutℂ-espace vectorielEde dimension𝑘et pour tout couple d’endomorphismes(φ, ψ)deE tels que rg([φ, ψ]) ≤ 1,il existe un vecteur propre commun àφetψ.

II.4 Vérifier la propriété𝒫₁.

II.5 Dans cette question, on suppose que 𝒫_𝑘 est vérifiée pour tout entier 𝑘 ∈ J1, 𝑛 − 1Ket queAetBne vérifient pas la propriétéℋ.

On noteC = [A, B],on suppose que rg(C) = 1et on considèreλ ∈ ℂune valeur propre deA. II.5.a Justifier l’existence de𝑢 ∈ ℳ_𝑛,1(ℂ)tel queA𝑢 = λ𝑢etC𝑢 ≠ 0.

II.5.b Vérifier que Im(C) =vect(𝑣)où𝑣 = C𝑢.

II.5.c Montrer que Im(C) ⊂Imλ(A).

II.5.d Etablir les inégalités suivantes :1 ≤dim(Imλ(A)) ≤ 𝑛 − 1.

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II.5.e Pour toutX ∈Imλ(A),on poseφ(X) = AXetψ(X) = BX.

Montrer que[A, A − λI_𝑛] = 0et[B, A − λI_𝑛] = −C.

En déduire queφetψdéfinissent des endomorphismes de Imλ(A).

II.5.f Montrer l’existence d’un vecteur propre commun àφetψ; en déduire qu’il en est de même pourAetB.

II.6 Montrer que pour tout𝑛 ∈ ℕ^∗,𝒫_𝑛est vraie.

Partie III – Etude d’un autre cas particulier

Soit 𝑛 ∈ ℕ^∗. On note E = ℂ_2𝑛[X] leℂ-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à2𝑛.

PourP ∈ E, on désigne parP^′le polynôme dérivé deP.

Pour tout polynômePdeE,on pose𝑓(P) = P^′et𝑔(P) = X^2𝑛P (1 X). III.1 Soient(𝑎₀, 𝑎₁, … , 𝑎_2𝑛) ∈ ℂ^2𝑛+1etP =

2𝑛

∑

𝑘=0

𝑎_𝑘X^𝑘. Montrer que𝑔(P) =

2𝑛

∑

𝑘=0

𝑎_2𝑛−𝑘X^𝑘. III.2 Montrer que𝑓et𝑔définissent des endomorphismes deE.

III.3 III.3.a Vérifier que siPest un vecteur propre de𝑔,alors deg(P) ≥ 𝑛.

III.3.b Montrer queX^𝑛est un vecteur propre de𝑔. III.4 III.4.a Vérifier que Ker(𝑓^𝑖) = ℂ_𝑖−1[X].

III.4.b Montrer que Sp(𝑓^𝑖) = {0}.

III.5 Montrer que𝑓^𝑖et𝑔possèdent un vecteur propre commun si et seulement si𝑖 ≥ 𝑛 + 1.

ℬ_𝑐 désigne la base canonique deEdéfinie par :ℬ_𝑐 = (1, X, … , X^2𝑛).

On noteA_𝑛la matrice de𝑓dans la baseℬ_𝑐 etB_𝑛celle de𝑔dans la même base.

III.6 DéterminerA_𝑛etB_𝑛.

III.7 Dans cette question, on suppose que𝑛 = 1.

III.7.a Montrer queA₁=

⎛

⎜⎜

⎝ 0 1 0 0 0 2 0 0 0

⎞

⎟⎟

⎠

etB₁=

⎛

⎜⎜

⎝ 0 0 1 0 1 0 1 0 0

⎞

⎟⎟

⎠

et en déduire l’expression deA²₁etA³₁.

III.7.b Déterminer le rang de[A^𝑖₁, B₁]pour𝑖 = 1et𝑖 = 2.

III.7.c En déduire que la condition nécessaire de la question II.1.b n’est pas suffisante et que la condition suffisante de la questionII.6n’est pas nécessaire.

Partie IV – Forme normale pour un vecteur propre Soit𝑛 ∈ ℕavec𝑛 ≥ 2. On note

𝒩 =

⎧⎪

⎨⎪

⎩

⎛

⎜⎜

⎝ 𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛

⎞

⎟⎟

⎠

∈ ℳ_𝑛,1(ℂ), ∃𝑖 ∈J1, 𝑛K, 𝑥_𝑖= 0

⎫⎪

⎬⎪

⎭ SoitA ∈ ℳ_𝑛(ℂ)etXun vecteur propre deA.

On dit queXestsous forme normalesi :

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• X ∈ 𝒩 ou

• il existeλ^′∈Sp(A)et il existeU ∈ 𝒩tel queX = (A − λ^′I_𝑛)U.

IV.1 Dans cette question, on suppose queApossède une valeur propreλtelle que dim(Eλ(A)) ≥ 2.

Montrer queAadmet un vecteur propre sous forme normale associé à la valeur propreλ.

IV.2 On note𝒜_𝑛(ℂ)leℂ-espace vectoriel desmatricesM ∈ ℳ_𝑛(ℂ)antisymétriques,c’est-à-dire telles que M^⊤= −M.

Pour toutM ∈ 𝒜_𝑛(ℂ),on pose :φ(M) = AM + MA^⊤etψ(M) = AMA^⊤. IV.2.a Montrer que𝒜_𝑛(ℂ) ≠ {0}.

IV.2.b Montrer que les colonnes d’une matriceM ∈ 𝒜_𝑛(ℂ)sont des éléments de𝒩. IV.2.c Montrer queφetψdéfinissent des endomorphismes de𝒜_𝑛(ℂ).

IV.2.d Vérifier queφ ∘ ψ = ψ ∘ φ.

IV.3 Dans cette question, on suppose queApossède au moins deux valeurs propres distinctes, notéesλ₁etλ₂. On considère X₁ un vecteur propre deAassocié à la valeur propreλ₁ etX₂ un vecteur propre deA associé à la valeur propreλ₂.

On noteB = X₁X^⊤₂ − X₂X^⊤₁.

IV.3.a Montrer queBvérifie chacune des propriétés suivantes :

• B ∈ 𝒜_𝑛(ℂ);

• B ≠ 0;

• AB + BA^⊤= (λ₁+ λ₂)B;

• ABA^⊤= (λ₁λ₂)B.

IV.3.b En déduire que(A − λ₁I_𝑛)(A − λ₂I_𝑛)B = 0.

IV.3.c Dans cette question, on suppose que(A−λ₂I_𝑛)B = 0. Montrer qu’au moins l’une des colonnes deBest un vecteur propre deAsous forme normale.

IV.3.d Dans cette question, on suppose que(A − λ₂I_𝑛)B ≠ 0. Montrer queApossède un vecteur propre sous forme normale.

IV.4 Dans cette question, on suppose queAne possède qu’une seule valeur propreλ.

IV.4.a Montrer l’existence d’une matrice B ∈ 𝒜_𝑛(ℂ) non nulle vérifiant chacune des propriétés suivantes :

• il existeα ∈ ℂtel que :AB + BA^⊤= αB;

• il existeβ ∈ ℂtel que :ABA^⊤= βB.

IV.4.b Vérifier que(A²− αA + βI_𝑛)B = 0.

IV.4.c Montrer qu’il existe(γ, δ) ∈ ℂ²tel que(A − γI_𝑛)(A − δI_𝑛)B = 0.

IV.4.d Dans cette question, on suppose que(A − δI_𝑛)B = 0. Montrer que Apossède un vecteur propre sous forme normale.

IV.4.e Dans cette question, on suppose que(A − δI_𝑛)B ≠ 0etδ = λ. Montrer queApossède un vecteur propre sous forme normale.

IV.4.f Dans cette question, on suppose que(A − δI_𝑛)B ≠ 0etδ ≠ λ. Montrer queA − δI_𝑛est une matrice inversible et en déduire que(A − γI_𝑛)B = 0.

IV.4.g Que conclure?

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