Devoir à la maison n°09
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Problème 1 – Centrale MP 2019�
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Notations et définitions
Dans tout le problème,𝕂désigneℝouℂ,ℕdésigne l’ensemble des entiers naturels et𝑛est un entier naturel.
On note𝕂𝑛[X]le sous-espace vectoriel de𝕂[X]des polynômes de degré inférieur ou égal à𝑛à coefficients dans𝕂et, pour𝑛 ≥ 1,ℳ𝑛(𝕂)la𝕂-algèbre des matrices carrées de taille𝑛à coefficients dans𝕂. La matrice unité est notéeI𝑛et on désigne parGL𝑛(𝕂)le groupe des matrices inversibles deℳ𝑛(𝕂).
Pour toute matriceAdeℳ𝑛(𝕂), on noteA⊤la transposée de la matriceA, rg(A)son rang, tr(A)sa trace, χA=det(XI𝑛− A)son polynôme caractéristique,πAson polynôme minimal et Sp(A)l’ensemble de ses valeurs propres dans𝕂.
Dans tout le problème,Edésigne un espace vectoriel sur le corps𝕂de dimension finie𝑛supérieure ou égale à 2, etℒ(E)est l’algèbre des endomorphismes deE. On note𝑓un endomorphisme deE.
On note𝑓0=IdEet∀𝑘 ∈ ℕ, 𝑓𝑘+1= 𝑓𝑘∘ 𝑓.
SiQ ∈ 𝕂[X]avecQ(X) = 𝑎0+𝑎1X+⋯+𝑎𝑚X𝑚,Q(𝑓)désigne l’endomorphisme𝑎0IdE+𝑎1𝑓+⋯+𝑎𝑚𝑓𝑚. On note𝕂[𝑓]la sous-algèbre commutative deℒ(E)constituée des endomorphismesQ(𝑓)quandQdécrit𝕂[X]. De même, on utilise les notations suivantes, similaires à celles des matrices, pour un endomorphisme𝑓de E: rg(𝑓), tr(𝑓),χ𝑓,π𝑓et Sp(𝑓).
Enfin, on dit que𝑓estcycliquesi et seulement s’il existe un vecteur𝑥0dansEtel que(𝑥0, 𝑓(𝑥0), … , 𝑓𝑛−1(𝑥0)) soit une base deE.
I. Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
I.A.
SoitM ∈ ℳ𝑛(𝕂).
1 Montrer queMetM⊤ont même spectre.
2 Montrer queM⊤est diagonalisable si et seulement siMest diagonalisable.
I.B. Matrices compagnons
3 Soit(𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1) ∈ 𝕂𝑛 etQ(X) = X𝑛+ 𝑎𝑛−1X𝑛−1+ ⋯ + 𝑎0. On appellematrice compagnondeQla matrice
CQ=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 … … … 0 −𝑎0 1 0 … … 0 −𝑎1 0 1 ⋱ ⋮ −𝑎2
⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮
⋮ ⋱ 1 0 −𝑎𝑛−2 0 … … 0 1 −𝑎𝑛−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ Déterminer en fonction deQle polynôme caractéristique deCQ.
4 Soitλune valeur propre deC⊤Q. Déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé.
I.C. Endomorphismes cycliques
5 Montrer que𝑓est cyclique si et seulement s’il existe une baseℬdeEdans laquelle la matrice de𝑓est de la formeCQ, oùQest un polynôme unitaire de degré𝑛.
6 Soit𝑓un endomorphisme cyclique. Montrer que𝑓est diagonalisable si et seulement siχ𝑓est scindé sur𝕂et a toutes ses racines simples.
7 Montrer que si𝑓est cyclique, alors(IdE, 𝑓, 𝑓2, … , 𝑓𝑛−1)est libre dansℒ(E)et le polynôme minimal de𝑓est de degré𝑛.
I.D. Application à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
8 Soit𝑥un vecteur non nul deE. Montrer qu’il existe un entier𝑝strictement positif tel que la famille (𝑥, 𝑓(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑝−1(𝑥))soit libre et qu’il existe(α0, α1, … , α𝑝−1) ∈ 𝕂𝑝tel que :
α0𝑥 + α1𝑓(𝑥) + ⋯ + α𝑝−1𝑓𝑝−1(𝑥) + 𝑓𝑝(𝑥) = 0
9 Justifier que Vect(𝑥, 𝑓(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑝−1(𝑥))est stable par𝑓. 10 Montrer queX𝑝+ α𝑝−1X𝑝−1+ ⋯ + α0divise le polynômeχ𝑓. 11 Démontrer queχ𝑓(𝑓)est l’endomorphisme nul.
II. Etude des endomorphismes cycliques
II.A. Endomorphismes cycliques nilpotents
Dans cette sous-partie, on suppose que𝑓est un endomorphisme nilpotent deE. On note𝑟le plus petit entier naturel tel que𝑓𝑟= 0.
12 Montrer que𝑓est cyclique si et seulement si𝑟 = 𝑛. Préciser alors la matrice compagnon.
II.B.
Dans cette sous partie II.B, on suppose𝕂 = ℂ.
On suppose que(Id, 𝑓, 𝑓2, … , 𝑓𝑛−1)est libre et on se propose de montrer que𝑓est cyclique.
On factorise le polynôme caractéristique de𝑓sous la forme
χ𝑓(X) =
𝑝
∏
𝑘=1
(X − λ𝑘)𝑚𝑘
où lesλ𝑘 sont les𝑝valeurs propres deux à deux distinctes de𝑓 et les𝑚𝑘 de ℕ∗ leurs ordres de multiplicité respectifs.
Pour𝑘 ∈J1, 𝑝K, on poseF𝑘=ker((𝑓 − λ𝑘IdE)𝑚𝑘).
13 Montrer que les sous-espaces vectorielsF𝑘sont stables par𝑓et queE = F1⊕ ⋯ ⊕ F𝑝.
Pour𝑘 ∈J1, 𝑝K, on noteφ𝑘l’endomorphisme induit par𝑓 − λ𝑘IdEsur le sous-espace vectorielF𝑘,
φ𝑘∶ { F𝑘 ⟶ F𝑘
𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) − λ𝑘𝑥 14 Justifier queφ𝑘est un endomorphisme nilpotent deF𝑘.
On noteν𝑘le plus petit entier naturel tel queφν𝑘𝑘= 0. 15 Pourquoi a-t-onν𝑘≤dim(F𝑘)?
16 Montrer, avec l’hypothèse proposée, que pour tout𝑘 ∈J1, 𝑝K, on aν𝑘= 𝑚𝑘.
17 Expliciter la dimension deF𝑘pour𝑘 ∈J1, 𝑝K, puis en déduire l’existence d’une baseℬ = (𝑢1, … , 𝑢𝑛)deE dans laquelle𝑓a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant àℳ𝑚𝑘(ℂ)et étant de la forme
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ𝑘 0 … … … 0
1 λ𝑘 ⋱ ⋮
0 1 λ𝑘 ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ λ𝑘 0 0 … … 0 1 λ𝑘
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
On pose𝑥0= 𝑢1+ 𝑢𝑚1+1+ ⋯ + 𝑢𝑚1+⋯+𝑚𝑝−1+1.
18 Déterminer les polynômesQ ∈ ℂ[X]tels queQ(𝑓)(𝑥0) = 0.
19 Justifier que𝑓est cyclique.
III. Endomorphismes commutants, décomposition de Frobenius
On appelle commutant de𝑓l’ensembleC(𝑓) = {𝑔 ∈ ℒ(E), 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓}.
20 Montrer queC(𝑓)est une sous-algèbre deℒ(E). III.A. Commutant d’un endomorphisme cyclique
On suppose que𝑓est cyclique et on choisit un vecteur𝑥0dansEtel que(𝑥0, 𝑓(𝑥0), … , 𝑓𝑛−1(𝑥0))est une base deE.
Soit𝑔 ∈ C(𝑓), un endomorphisme qui commute avec𝑓. 21 Justifier l’existence deλ0, λ1, … , λ𝑛−1de𝕂tels que
𝑔(𝑥0) =
𝑛−1
∑
𝑘=0
λ𝑘𝑓𝑘(𝑥0)
22 Montrer alors que𝑔 ∈ 𝕂[𝑓].
23 Établir que𝑔 ∈ C(𝑓)si et seulement s’il existe un polynômeR ∈ 𝕂𝑛−1[X]tel que𝑔 = R(𝑓).
III.B. Décomposition de Frobenius
On se propose de démontrer le théorème de décomposition de Frobenius : toute matrice est semblable à une matrice diagonale par blocs, ces blocs étant des matrices compagnons.
24 Montrer que si la réunion d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels F1, … , F𝑟 de E est un sous-espace vectoriel, alors l’un des sous-espacesF𝑖contient tous les autres.
On note𝑑le degré deπ𝑓.
25 Justifier l’existence d’un vecteur𝑥1deEtel que(𝑥1, 𝑓(𝑥1), … , 𝑓𝑑−1(𝑥1))est libre.
Pour tout𝑥non nul deE, on pourra remarquer queI𝑥 = {P ∈ 𝕂[X], P(𝑓)(𝑥) = 0}est un idéal de 𝕂[X]
engendré par un polynôme unitaireπ𝑓,𝑥diviseur deπ𝑓et considérer les sous-espaces vectorielsker(π𝑓,𝑥(𝑓)).
On pose𝑒1= 𝑥1,𝑒2= 𝑓(𝑥1), …,𝑒𝑑= 𝑓𝑑−1(𝑥1)etE1=Vect(𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑑).
26 Montrer queE1est stable par𝑓et queE1= {P(𝑓)(𝑥1), P ∈ 𝕂[X]}.
On noteψ1l’endomorphisme induit par𝑓sur le sous-espace vectorielE1,
ψ1∶ { E1 ⟶ E1 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) 27 Justifier queψ1est cyclique.
On complète, si nécessaire,(𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑑)en une base(𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑛)deE. SoitΦla𝑑-ième forme coordonnée qui à tout vecteur𝑥deEassocie sa coordonnée suivant𝑒𝑑. On noteF = {𝑥 ∈ E, ∀𝑖 ∈ ℕ, Φ(𝑓𝑖(𝑥)) = 0}.
28 Montrer queFest stable par𝑓et queE1etFsont en somme directe.
SoitΨl’application linéaire deEdans𝕂𝑑définie, pour tout𝑥 ∈ E, par
Ψ(𝑥) = (Φ(𝑓𝑖(𝑥)))0≤𝑖≤𝑑−1 = (Φ(𝑥), Φ(𝑓(𝑥)), … , Φ(𝑓𝑑−1(𝑥))) 29 Montrer queΨinduit un isomorphisme entreE1et𝕂𝑑.
30 Montrer queE = E1⊕ F.
31 En déduire qu’il existe𝑟sous-espaces vectoriels deE, notésE1, … , E𝑟, tous stables par𝑓, tels que :
• E = E1⊕ ⋯ ⊕ E𝑟;
• pour tout1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, l’endomorphismeψ𝑖induit par𝑓sur le sous-espace vectorielE𝑖est cyclique;
• si on noteP𝑖le polynôme minimal deψ𝑖, alorsP𝑖+1diviseP𝑖pour tout entier𝑖tel que1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1.
III.C. Commutant d’un endomorphisme quelconque 32 Montrer que la dimension deC(𝑓)est supérieure ou égale à𝑛.
33 On suppose que𝑓est un endomorphisme tel que l’algèbreC(𝑓)est égale à𝕂[𝑓]. Montrer que𝑓est cyclique.
IV. Endomorphismes orthocycliques
Dans cette partie, on suppose que 𝕂 = ℝet que Eest un espace euclidien. Le produit scalaire de deux vecteurs𝑥, 𝑦deEest noté(𝑥|𝑦)et on désigne parO(E)le groupe des isométries vectorielles deE.
On dit qu’un endomorphisme est orthocyclique s’il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de𝑓est de la formeCQ(matrice compagnon).
IV.A. Isométries vectorielles orthocycliques Soit𝑓 ∈ O(E).
34 Soit𝑓′ ∈ O(E)ayant le même polynôme caractéristique que𝑓. Montrer qu’il existe des bases orthonormales ℬetℬ′deEpour lesquelles la matrice de𝑓dansℬest égale à la matrice de𝑓′dansℬ′.
35 En déduire que𝑓est orthocyclique si et seulement siχ𝑓= X𝑛− 1ouχ𝑓= X𝑛+ 1. IV.B. Endomorphismes nilpotents orthocycliques
Soit𝑓un endomorphisme nilpotent deE.
36 Montrer qu’il existe une base orthonormale deEdans laquelle la matrice de𝑓est triangulaire inférieure.
37 En déduire que𝑓est orthocyclique si et seulement si
𝑓est de rang𝑛 − 1et∀𝑥, 𝑦 ∈ (ker𝑓)⊥, (𝑓(𝑥)|𝑓(𝑦)) = (𝑥|𝑦)
