Diagonalisation d’un endomorphisme Corrig´e

Mini DM 3

Diagonalisation d’un endomorphisme Corrig´e

1. Notons B la base canonique. Par d´efinition de l’endomorphisme f, on a

A= MatB(f) =











0 1 . . . 0 ... 0 . .. 0 0 0 . . . 1 1 0 . . . 0











2. Soitz ∈Ctel que P(z) = 0. Puisquez 6= 0 clairement, on peut poserz =re^iθ, avec θ∈[0,2π[. On a alors

zⁿ= 1 ⇐⇒ rⁿe^inθ = 1.

En identifiant le module et l’argument, cela est ´equvalent `a ce que r= 1, et que

nθ≡0 (2π) ⇐⇒ θ ≡0 (2π n ).

Puisque θ ∈ [0,2π[, cette derni`ere congruence signifique qu’il existe un entier k ∈ {0, . . . , n−1} tel que

θ= 2kπ n .

Ainsi, on a trouv´e n racines distinctes pour P, il s’agit des complexes z_k = e^2ikπn , aveck ∈ {0, . . . , n−1}. NotonsU_n l’ensemble de ces racines. Ainsi,P est scind´e `a racines simples, et on peut ´ecrire

∀X ∈C, P(X) =

n−1

Y

k=0

(X−zk).

On peut noter que cet ensemle U_n constituent les sommets du polygone r´egulier `a n sommets inscrit dans le cercle unit´e, dont un des sommets est le point d’affixe 1.

On peut remarquer que le point d’affixe -1 est un des sommets si et seulement sin est pair, et correspond `a la racines obtenues pour k = ⁿ₂.

Figure 1: Les racinesn-i`eme de l’unit´es pour n= 4 et n= 5. Elles forment un polygone r´egulier `a n sommets inscrit dans le cercle unit´e.

3. Pour un entier 1 ≤ p≤ n fix´e, on va calculer fⁿ(e_p). On commence par appliquer p−1 fois f `a e_p :

f^p−1(ep) = e1, puis on applique f :

f^p(ep) = f(e1) = en, et on applique finalement n−p fois `a e_n :

fⁿ(ep) = f^n−p(en) =ep.

On a donc (fⁿ−Id)e_p = 0 pour tout 1≤p≤n. Ainsi,fⁿco¨ıncide avec Id sur toute une base deCⁿ, et puisqu’il s’agit d’une applicaion lin´eaire, on peut conclure :

fⁿ = Id.

On a alors

P(f) =fⁿ−Id = 0,

ce qui prouve que P est un polynˆome annulateur de f. Puisque P est scind´e `a racines simples, on d´eduit que f est diagonalisable, et on sait de plus que

sp(f)⊂U_n,

o`u on rappelle queU<sub>n</sub>est l’ensemble des racines deP d´ecrit `a la question pr´ec´edente.

Remarque : On peut ˆetre tent´e de chercher une formule “explicite” pour calculer f^k(e_p). La formule naturelle semble ˆetref^k(e_p) =e_p−k, mais celle-ci n’a plus de sens d`es que p ≤ k. Le probl`eme vient du fait qu’appliquer f `a un vecteur de la base canoniquee_p fait “d´ecroˆıtre” l’indice p, sauf si p= 1. Il est bien dommage que l’on n’ait pas 1−1 = n... sauf que ceci est vrai si on raisonne dansZ/nZ, l’ensembles des classes d’´equivalences modulo n parmi les entiers. Ainsi, pour un entier p ∈ Z, on noteϕ(p) le nombre entier contenu entre 1 etn repr´esentant la classe d’´equivalence de p modulo n. On a en particulier ϕ(0) = n, et mˆeme ϕ(p−k) = n+p−k si

−n < p−k ≤0, tandis queϕ(p−k) =p−k si 1≤p−k ≤n. Avec ces notations, on a alors

∀p∈ {1, . . . , n}, ∀k ∈N, f^k(e_p) =e_ϕ(p−k). Notez que la formule est mˆeme vraie lorsquek ∈N est quelconque!

Cette remarque paraˆıt compliquer les choses, mais l’ensemble Z/nZ des classes d’´equivalences est assez utiles pour repr´esenter des ph´enom`enes qui bouclent au bout de n r´ep´etitions. Muni de l’addition naturelle, il a une structure de groupe, et on peut le visualiser comme un “tore” discret (un ensemble de point ayant la propri´et´e d’un cercle, qui consiste, ayant avanc´e jusqu’au bout, `a revenir au point de d´epart).

4. Soit donc λ∈U_n, et cherchons v ∈Cⁿ solution de Av=λv. On note

v =





 v₁

... v_n





,

de sorte que l’´equationAv =λv se traduit par le syst`eme



















v₂ =λv₁ v3 =λv2

...

v_n=λvn−1

v₁ =λv_n

Par substitutions successives dans les n−1 premi`eres ´equations, on d´eduit

∀k∈ {1, . . . , n}, v_k=λ^k−1v₁, de sorte que le vecteur v v´erifie

v =v1









 1 λ ... λⁿ⁻¹









 .

De plus, ce vecteur v´erifie bien la derni`ere ´equation v<sub>1</sub> = λv<sub>n</sub> puisque λ<sup>n</sup> = 1 par hypoth`ese. On peut conclure : sp(f) = U_n, de plus, chaque espace propre est de dimension 1, avec

∀λ∈Un, ker(f −λId) = vect



















 1 λ ... λⁿ⁻¹





















5. On exploite les questions pr´ec´edentes. On rappelle que l’ensemble U_n est form´e des nombres complexes z_k =e^2ikπn avec 0≤ k ≤n−1. On prend comme matrice D la matrice diagonale ayant les valeurs propres (z_k)k=0,...,n−1 rang´ees dans cet ordre sur la diagonale, pour Qla matrice des vecteurs propres associ´es :

Q=











1 . . . 1 z₀ . . . zn−1

... ... z₀ⁿ⁻¹ . . . z_n−1ⁿ⁻¹











On a alors par constructionA =QDQ⁻¹. On peut noter que Q=V(z0, . . . , zn−1)

o`uV d´esigne la matrice de Vandermande. Chose assez surprenant, on peut ´egalement noter quez_k =z₁^k, de sorte que Q soit sym´etrique :

Q=













1 1 . . . 1

1 e^2iπn . . . e^2iπ(n−1)n ... ...

1 e^2iπ(n−1)n . . . e^{2iπ(n−1)2n}













On peut mˆeme aller plus loin et montrer queQQ^∗ =nIn, o`uQ^∗ est la matrice dont les coefficients sont les conjugu´es de ceux de Q, ce qui prouve que Q⁻¹ = _n¹Q^∗. 6. On peut noter que A est la matrice compagnon du polynˆome P et utiliser le cours :

χf(X) =χA(X) = (−1)ⁿP(X).

On peut reprendre ce calcul dans ce cas particulier :

χ_A(X) =











−X 1 . . . 0 0 . .. ... ...

... . .. ... 1 1 . . . 0 −X











On d´eveloppe par rapport `a la premi`ere colonne :

χ_A(X) =−X











−X 1 . . . 0 0 . .. ... ... ... . .. ... 1 0 . . . 0 −X











+ (−1)ⁿ⁺¹











1 0 . . . 0

−X . .. ... ...

... . .. ... 0 0 . . . −X 1











Ces deux matrices (de taille n−1) ´etant triangulaires, on d´eduit :

χA(X) = −X(−X)ⁿ⁻¹+ (−1)ⁿ⁺¹ = (−1)ⁿ(Xⁿ−1) = (−1)ⁿP(X).

On pouvait trouver cela en exploitant ce qui pr´ec`ede : on sait que f poss`ede n valeurs propres distinctes et simples. Le polynˆome χ_f est donc un polynˆome de degr´en, de coefficient dominant (−1)ⁿ, dont les racines sont les nombres complexes z_k avec 0 ≤k≤n−1. On d´eduit :

χ_f(X) = (−1)ⁿ

n−1

Y

k=0

(X−z_k) = (−1)ⁿP(X).

7. Si n = 2, χ_f = P est scind´e `a racines simples et f reste diagonalisable dans R. Si n ≥ 3, alors le polynˆome χ_f = (−1)ⁿP a au plus deux racines r´eelles (1 si n est impair, 1 et -1 si n est pair), compt´ees avec multiplicit´e. Ainsi χ_f n’est pas scind´e etf n’est pas diagonalisable, et sa matrice A non plus.

Remarque : C’est un fait g´en´eral qu’un polynˆome `a coefficient r´eels poss´edant des racines complexes non r´eelles n’est pas scind´e sur R. On peut d´emontrer que les racines complexes sont conjugu´ees, et on peut le factoriser en produit de monˆomes et de trinˆomes. Dans ce cas-ci, on a bien

zk =e^−2ikπn =e^2ik

0

n =zk⁰ avec k⁰ =n−k Dans le cas impaire, en notantN = ⁿ⁻¹₂ , on obtient en groupant

P(X) = (X−1)

n−1

Y

k=1

(X−z_k) (1)

= (X−1)

N

Y

k=1

(X−z_k)(X−z_k) (2)

= (X−1)

N

Y

k=1

(X²−2 cos(^2kπ_n )X+ 1). (3)

tandis que le cas pair donne, avecN = ⁿ₂ :

P(X) = (X−1)(X+ 1)

N

Y

k=1

(X²−2 cos(^2kπ_n )X+ 1)

Dans le deux cas, on peut v´erifier que chaque trinˆome X² −2 cos(^2kπ_n )X + 1 est irr´eductible sur Rpuisque son discriminant 4 cos²(^2kπ_n )−4 est strictement n´egatif.