© Laurent Garcin MP Dumont d’Urville
Devoir à la maison n°12
• Le devoir devra être rédigé sur des copiesdoubles.
• Les copies ne devront comporter ni rature, ni renvoi, ni trace d’effaceur.
• Toute copie ne satisfaisant pas à ces exigences devra être intégralement récrite.
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Problème 1 – CCP MP 2019 Maths 1�
� Dans ce sujet, une série de fonctionsL𝑎est une série de fonction s ∑
𝑛∈ℕ∗
𝑎𝑛𝑥𝑛
1 − 𝑥𝑛 où(𝑎𝑛)𝑛∈ℕ∗est une suite de réels telle que la série entière ∑
𝑛∈ℕ∗
𝑎𝑛𝑥𝑛soit de rayon de convergence égal à1.
1 Propriétés
Soit une série de fonctionsL𝑎: ∑
𝑛∈ℕ∗
𝑎𝑛𝑥𝑛 1 − 𝑥𝑛.
1 1.a Si𝑥 ∈] − 1, 1[, donner un équivalent de1 − 𝑥𝑛pour𝑛au voisinage de+∞.
1.b Démontrer que pour tout𝑥 ∈] − 1, 1[, la série∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛
1 − 𝑥𝑛 converge absolument.
1.c La sérieL𝑎peut parfois converger en dehors de l’intervalle] − 1, 1[. Donner un exemple de suite(𝑎𝑛) telle que la sérieL𝑎converge au moins en un𝑥0n’appartenant pas à l’intervalle] − 1, 1[.
2 Démontrer que la série de fonctions ∑
𝑛∈ℕ∗
𝑎𝑛𝑥𝑛
1 − 𝑥𝑛 converge uniformément sur tout segment[−𝑏, 𝑏]inclus dans l’intervalle] − 1, 1[.
3 On pose pour tout𝑥 ∈] − 1, 1[,𝑓(𝑥) =
+∞
∑
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛 1 − 𝑥𝑛.
3.a Justifier que la fonction𝑓est continue sur l’intervalle] − 1, 1[.
3.b Démontrer ensuite que la fonction𝑓est de classe𝒞1sur l’intervalle] − 1, 1[. Donner la valeur de𝑓′(0).
4 Expression sous forme de série entière.
On noteA = ℕ∗× ℕ∗.
4.a Lorsque(𝑢𝑛,𝑝)(𝑛,𝑝)∈Aest une famille sommable de réels, justifier que
+∞
∑
𝑛=1
(
+∞
∑
𝑝=1
𝑢𝑛,𝑝) =
+∞
∑
𝑛=1
( ∑
(𝑘,𝑝)∈I𝑛
) oùI𝑛 = {(𝑘, 𝑝) ∈ A, 𝑘𝑝 = 𝑛}
4.b Démontrer que pour tout𝑥 ∈] − 1, 1[, la famille(𝑎𝑛𝑥𝑛𝑝)(𝑛,𝑝∈A)est sommable.
4.c En déduire que pour tout𝑥 ∈] − 1, 1[,
+∞
∑
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛 1 − 𝑥𝑛 =
+∞
∑
𝑛=1
𝑏𝑛𝑥𝑛où𝑏𝑛 = ∑
𝑑∣𝑛
𝑎𝑑 où la dernière somme porte sur les diviseurs positifs de𝑛.
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2 Exemples
5 Dans cette question, pour𝑛 ∈ ℕ∗,𝑎𝑛 = 1et on note𝑑𝑛 le nombre de diviseurs de𝑛. Exprimer, pour tout 𝑥 ∈] − 1, 1[,𝑓(𝑥) =
+∞
∑
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛
1 − 𝑥𝑛 comme la somme d’une série entière.
6 Dans cette question, pour𝑛 ∈ ℕ∗,𝑎𝑛= φ(𝑛)oùφest l’indicatrice d’Euler.
6.a Justifier que la série entière ∑
𝑛∈ℕ∗
est de rayon de convergence égal à1.
6.b Ecrire une fonctionpgcd(a,b)d’arguments deux entiers naturels𝑎et𝑏et renvoyant le pgcd de𝑎et 𝑏. En déduire une fonctionindicatrice(n)d’argument un entier naturel non nul𝑛et renvoyantφ(𝑛) puis une fonctionsomme(n)d’argument un entier naturel non nul𝑛et renvoyant∑
𝑑∣𝑛
φ(𝑑).
6.c On admet que pour𝑛 ∈ ℕ∗,𝑛 = ∑
𝑑∣𝑛
φ(𝑑). Vérifier ce résultat pour𝑛 = 12. 6.d Pour𝑥 ∈] − 1, 1[, exprimer+∞∑
𝑛=1
φ(𝑛)𝑥𝑛
1 − 𝑥𝑛 sous la forme d’un quotient de deux polynômes.
7 En utilisant le théorème de la double limite, établir à l’aide du développement en série entière de𝑥 ↦ln(1+𝑥) sur l’intervalle] − 1, 1[la valeur de la somme
+∞
∑
𝑛=1
(−1)𝑛 𝑛 .
8 Dans cette question et la suivante, pour𝑛 ∈ ℕ∗,𝑎𝑛= (−1)𝑛et pour tout𝑥 ∈] − 1, 1[,𝑓(𝑥) =
+∞
∑
𝑛=1
𝑎𝑛𝑥𝑛 1 − 𝑥𝑛. En utilisant le théorème de la double limite, calculer lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)
𝑥 et donner un équivalent de𝑓(𝑥)au voisinage de0. Retrouver alors le résultat de la question3.b.
9 Démontrer qu’au voisinage de1,𝑓(𝑥)∼−ln(2)
1 − 𝑥. On pourra remarquer que pour𝑥 ∈]0, 1[, 1 − 𝑥
1 − 𝑥𝑛 = 1
1 + 𝑥 + 𝑥2+ ⋯ + 𝑥𝑛−1
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