ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 6 3 mai 2010
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
Calculer les intégrales suivantes, l'une par intégration par parties, l'autre par un changement de variable : I=
Z ln(3)
0
5te−2tdt et J = Z 3
1
t t2+√
tdt
Exercice II.
Soit la fonction de deux variablesf dénie parf(x, y) =2x2+y3
x2−y2 . On posef(0,0) = 0. 1. Déterminer son domaine de dénitionD.
2. Calculer ses dérivées partielles surD\{(0; 0)}. 3. f admet-elle des dérivées partielles en(0; 0)?
Exercice III.
(quelques rappels, et introduction à la suite du cours) Une urne contient deux boules rouges et une boule bleue.On considère une suite innie de tirages avec remise dans l'urne.
On noteX la variable aléatoire qui compte le nombre de tirages nécessaires jusqu'à la première obtention de la boule bleue, et
∀n∈N∗, Rn={lenetirage donne une boule rouge}, et Bn={lene tirage donne une boule bleue}. 1. Exprimer les évènements {X = 1}, {X = 2}, puis ∀n ∈N∗, {X =n} en fonction des évènements
(Rk)1≤k≤n et (Bk)1≤k≤n.
2. Calculer P(X= 1), P(X = 2), puis montrer que ∀n∈N∗, P(X =n) = 1 3
2 3
n−1
. 3. Calculer X
n≥1
P(X =n). Que peut-on en déduire ? 4. On pose, ∀n∈N, F(n) =P(X ≤n).
a. Calculer F(n).
b. Que peut-on dire de monotonie de la suite(F(n))n∈N? Justier.
c. Déterminer lim
n→+∞F(n).
d. Retrouver, avec le théorème de la limite monotone, P({X est nie}). 5. CalculerX
n≥1
nP(X =n). Concrètement, à quoi correspond cette quantité ? 6. CalculerX
n≥1
n2P(X=n).
Exercices facultatifs.
Feuille 17. Exercice XII.
Feuille 18. Exercice XII.
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