Partie 1
Pelletier Sylvain
Lycée Hoche Versailles, année 2012-2013
1 Vocabulaire de la logique et des ensembles 9
I Logique élémentaire . . . 9
⋆ Proposition . . . 9
⋆ Opérations sur les propositions . . . 10
⋆ Manipulation des symboles « et », « ou » et « non » . . . 11
⋆ Implication et contraposée . . . 13
⋆ Quantificateurs . . . 15
⋆ Négation des quantificateurs . . . 16
⋆ Ordre des quantificateurs . . . 17
⋆ Conclusion . . . 17
II Méthodologie . . . 17
⋆ Méthodes de démonstration . . . 17
⋆ Méthodes de rédaction . . . 19
⋆ Exemples de démonstration . . . 20
III Vocabulaire des ensembles . . . 22
⋆ Définitions . . . 22
⋆ Égalité et inclusion d’ensembles . . . 23
⋆ Description d’un ensemble . . . 23
⋆ Opérations sur les parties . . . 24
⋆ Couple,n-uplets, produit cartésien . . . . 26
Feuille d’exercices (1) Outils 1 : Vocabulaire de la logique et des ensembles . . . 27
⋆ Logique élémentaire . . . 27
⋆ Méthodologie . . . 28
⋆ Vocabulaire des ensembles . . . 29
Fiche méthodologique Interprétation d’expression quantifiée 31 Fiche méthodologique Équations et inéquations 33 2 Nombres entiers, nombres réels 39 I Raisonnement par récurrence . . . 39
II Valeur absolue, partie entière et vocabulaire de l’arithmétique . . . 40
⋆ Valeur absolue . . . 40
⋆ Partie entière . . . 41
⋆ Division euclidienne et modulo . . . 42
⋆ Vocabulaire de l’arithmétique des entiers . . . 43
III Coefficients binomiaux et formule du binôme . . . 43
⋆ Factorielle . . . 43
⋆ Coefficients binomiaux . . . 44
IV Nombres réels . . . 47
⋆ Intervalles . . . 47
⋆ Propriété de la borne supérieure . . . 47
⋆ Définition précise de l’ensemble des réels . . . 49
Fiche algorithmique Nombres entiers 50 ⋆ Construction du triangle de Pascal . . . 50
⋆ Déterminer les nombres premiers . . . 50
Feuille d’exercices (2) Outils 2 : Nombres entiers et réels, outils 4 : méthodes de calcul 52 ⋆ Équations . . . 52
⋆ Raisonnement par récurrence . . . 53
⋆ Partie entière, valeur absolue . . . 53
⋆ Coefficients binomiaux . . . 54
⋆ Manipulation du symbole somme . . . 54
⋆ Formule du binôme de Newton . . . 55
⋆ Borne supérieure, maximum . . . 56
Fiche méthodologique Méthodes de calcul : les notations somme et produit 57 ⋆ Notation somme . . . 57
⋆ Manipulation . . . 58
⋆ Changement de variable dans une somme . . . 59
⋆ Somme télescopique . . . 60
⋆ Somme avec double indices . . . 60
⋆ Somme triangle . . . 61
⋆ Notation Produit . . . 63
⋆ Calcul d’une somme et d’un produit en Python . . . 63
⋆ Exemples . . . 64
⋆ Lien somme et somme double . . . 64
⋆ Sommes usuelles . . . 64
3 Nombres complexes 67 I Écriture algébrique . . . 67
⋆ L’ensemble des nombres complexes . . . 67
⋆ Le plan complexe . . . 68
II Conjugué et module . . . 69
⋆ Définitions . . . 69
⋆ Propriétés . . . 69
⋆ Inégalité triangulaire et cas d’égalité . . . 70
III Représentation trigonométrique et exponentielle . . . 71
⋆ Cercle trigonométrique . . . 71
⋆ Écriture exponentielle d’un nombre complexe . . . 72
⋆ Interprétation géométrique de la multiplication . . . 73
⋆ Formule d’Euler . . . 73
⋆ Factorisation par l’angle de moitié . . . 74
⋆ Formule de Moivre . . . 74
⋆ Exemple d’utilisation de la formule de Moivre . . . 75
IV Exponentielle d’un nombre complexe . . . 75
⋆ Relations coefficients racines . . . 78
⋆ Signe du polynôme de degré 2 . . . 78
Feuille d’exercices (3) Outils 2 : Nombres complexes . . . 79
⋆ Représentation algébrique, conjugué et module, représentation exponentielle 79 ⋆ Interprétation géométrique des nombres complexes . . . 80
⋆ Moivre et Euler, factorisation par l’angle de moitié . . . 80
⋆ Résolution d’équations du second degré . . . 81
⋆ Autour des racinesn-ième de l’unité . . . . 81
Fiche méthodologique Les formules et identités remarquables à connaître 83 ⋆ Calcul algébrique . . . 83
⋆ Notation puissance . . . 83
⋆ Notation racine . . . 83
⋆ Manipulation des inégalités . . . 84
⋆ Identités remarquables . . . 84
Fiche méthodologique Trigonométrie 85 ⋆ Fonction sinus . . . 85
⋆ Fonction cosinus . . . 85
⋆ Fonction tangente . . . 86
⋆ Valeurs usuelles . . . 86
⋆ Angles opposés, complémentaires, supplémentaires . . . 87
⋆ Sinus et cosinus d’une somme et d’une différence, angle double . . . 87
⋆ Transformation de produit en somme . . . 88
⋆ Transformation de somme en produit . . . 88
⋆ Équation trigonométrique . . . 89
⋆ Propriété fondamentale . . . 89
⋆ Résolution deacosx+bsinx=c . . . 89
⋆ Autres équations trigonométriques . . . 90
Fiche méthodologique Résolution d’équations dans C 92 ⋆ Équations du second degré à coefficients complexes . . . 92
⋆ Racines dansC. . . 93
⋆ Racinen-ième . . . . 94
⋆ Applications . . . 95
4 Vocabulaire des applications 97 I Notion d’application . . . 97
⋆ Définitions . . . 97
⋆ Exemples et contre-exemple . . . 99
⋆ Informatique . . . 99
⋆ Image directe d’une partie de l’ensemble de départ . . . 100
⋆ Composition . . . 100
⋆ Exemple d’écriture d’une fonction comme une composée . . . 101
⋆ Injection, surjection . . . 104
⋆ Bijection, application réciproque . . . 104
⋆ Composée de bijection . . . 105
⋆ Opérations algébriques . . . 106
⋆ Parité, périodicité . . . 106
⋆ Fonctions majorées, minorées, bornées . . . 107
⋆ Minimum et maximum . . . 107
⋆ Monotonie . . . 107
⋆ Les fonctions trigonométriques réciproques . . . 108
Feuille d’exercices (4) Outils 5 : Vocabulaire des applications . . . 116
⋆ Notion d’application . . . 116
⋆ Image directe d’une partie de l’ensemble de départ . . . 117
⋆ Composition . . . 117
⋆ Injection, surjection, bijection . . . 117
⋆ Fonctions trigonométriques réciproques . . . 118
5 Dénombrements 119 I Cardinal d’un ensemble . . . 119
⋆ Rappels . . . 119
⋆ Définition précise du cardinal d’un ensemble . . . 120
⋆ Théorème fondamental . . . 120
II Cardinal et opération sur les ensembles . . . 122
⋆ Cardinal du complémentaire d’un ensemble . . . 122
⋆ Cardinal d’une union, cas de deux ensembles . . . 123
⋆ Cardinal d’une union, cas disjoint . . . 123
III Cardinal de listes . . . 123
⋆ Cardinal d’un produit cartésien . . . 123
⋆ Arrangements . . . 125
⋆ Permutations . . . 126
IV Cardinal et parties d’un ensemble . . . 126
⋆ Nombre de parties d’un ensemble . . . 126
⋆ Combinaisons . . . 126
⋆ Interprétation des formules sur les binomiaux en terme combinatoire . . . . 127
Feuille d’exercices (5) Outils 6 : Dénombrements . . . 128
⋆ Compléments sur les binomiaux . . . 128
⋆ Dénombrements classiques . . . 128
⋆ Dénombrements et applications . . . 130
⋆ Dénombrements des parties d’un ensemble . . . 131
Fiche méthodologique Les variantes de la récurrence 133 ⋆ La récurrence simple . . . 133
⋆ Exemple : la démonstration du binôme de Newton . . . 133
⋆ La récurrence double . . . 134
⋆ La récurrence forte . . . 135
6 Suites usuelles 137 I Suites et opérations sur les suites . . . 137
⋆ Définitions . . . 137
⋆ Opérations sur les suites . . . 137
II Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométrique . . . 138
⋆ Suites arithmético-géométriques . . . 139
III Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . 141
⋆ Recherche de suites particulières qui vérifient la relation (R) . . . 141
⋆ Résolution dansC . . . 142
⋆ Résolution dansR . . . 144
⋆ Exemples . . . 145
Feuille d’exercices (6) Analyse 1 : Suites usuelles . . . 147
⋆ Récurrence et variantes . . . 147
⋆ Suite arithmético-géométrique . . . 147
⋆ Suite récurrentes linéaires d’ordre 2 . . . 147
⋆ Étude de suites . . . 149
Vocabulaire de la logique et des ensembles
I Logique élémentaire
⋆ Proposition
Définition 1. Une proposition P est une phrase qui est, sans ambiguïté, soit vraie soit fausse.
Cette proposition peut dépendre d’une (ou de plusieurs variables), on note alorsP(x)oùxest la variable.
Si on remplace la variable x par une valeur, alorsP(x) est vraie ou fausse.
Une proposition qui est vraie est une assertion.
Les propositions sont donc les «briques de bases» pour construire l’ensemble des énoncés que l’on peut démontrer.
Notons, qu’une proposition P(x) dépend d’une variable appartenant à unensemble.
Nous ne définirons pas précisément cette notion d’ensemble : un ensemble est une collection d’éléments, sans ordre.
Pour les éléments x de cet ensemble, la proposition « l’élément x appartient à E », noté «x ∈ E» a une valeur vraie.
Exemple:
– P : « la fonction sin est une fonction continue surR», – P : « 2 est un nombre impair »,
– P : « 0 est le plus petit nombre entier ».
– P(n) : «nest un nombre premier »,
Contre exemple : Qu’une proposition soit vraie ou fausse signifie que les termes qui la composent sont bien définis.
– Une proposition du type «π est un nombre plus intéressant que 2 » n’a de sens que si on a bien défini le « plus intéressant ».
– «i >0 » n’a aucun sens, car un nombre complexe n’a pas de signe.
– P(n) : «nest un nombre premier », n’a de sens que si nest un entier.
– P : « la fonction x7→x2+ 5x+ 3 est croissante » n’est pas bien définie puisque l’on n’a pas précisé l’intervalle.
– le symbole √
−1 n’a pas de sens puisque cela peut êtrei ou −i. D’une manière générale, en mathé- matiques, on évite les ambiguïtés.
– Si xest un élément etE un ensemblex⊂E n’a pas de sens, il faut écrire :x∈E. Le symbole ⊂est un symbole binaire d’inclusion entre deux ensembles, le symbole∈ est un symbole entre un élément et un ensemble.
À retenir : lorsque l’on énonce un résultat mathématiques, on vérifie que les termes sont bien définis et qu’il n’y a aucune ambiguïté. Avant de chercher à démontrer une proposition, on vérifie que l’on en comprends bien tous les termes. En particulier, cela signifie que l’on maîtrise parfaitement les définitions.
On retrouve lesvariables booléennesen informatique qui valentTrueou False. On peut utiliser une variable booléenne pour faire des branchements conditionnels (structureif), ou des boucles avec conditions d’arrêt (structurewhile) Exemple : if x>2 :,while (x>0) :
D’autre part, en informatique on distingue le = qui permets d’affecter et le == qui permet de tester l’égalité des valeurs. Par exemple :x= 2 signifie affecter la valeur 2 àxetx== 2 signifie tester si la valeur de x est 2. Ainsi,x== 2 est donc une proposition qui vautTrueou False.
On peut stocker un booléen dans une variable. Par exemple :estPositif = (x>0), la variableestPositif contient alors Trueou False. On peut l’utiliser avecif estPositif :.
⋆ Opérations sur les propositions
Grand principe en mathématique : on définit un objet mathématique, puis les opérations possibles sur cet objet.
Définition 2. Si P est une proposition, on appelle (non P) lanégation deP :non P est la proposition fausse siP est vraie, elle est vraie si P est fausse.
Exemple: non(2 est pair) est (2 est impair),
En Python, on écrit not Ppour prendre la négation deP. Exemple :estNegatif = not(x>0).
NB : ne pas confondre négation et contraire. La négation de «f est croissante » n’est pas «f est décroissante ». C’est une grave erreur de logique.
Définition 3. Soient P et Q deux propositions, on définit :
– (P et Q) la proposition vraie si P est vraie etQ est vraie, fausse sinon, – (P ou Q) la proposition fausse si P est fausse etQ est fausse, vraie sinon.
Pour définir ces notions, on utilise une table de véritéqui contient la liste des valeurs possibles pour P etQ, et la valeur correspondante pour P etQ, etc. Cela est fait sur la figure 1.1.
NB : leou n’est pas exclusif : si les deux propositions sont vraie, « P ouQ » est vraie, au contraire de la valeur deou dans l’expressionformage ou dessert.
P V F
non P F V
P V V F F
Q V F V F
P ou Q V V V F P et Q V F F F
P ⇔ Q V F F V
Table 1.1 – Table de vérités de non,et,ou et⇔ Remarque:
– En informatique, on utiliseand etor. Par exemple : (x>0) and (x<5).
– La proposition P ou(non P) est toujours vraie (principe du tiers exclu).
Définition 4. Soient P et Qdeux propositions, on définit : (P ⇔Q) la proposition vraie siP etQ ont la même valeur, on dit «P est équivalent à Q».
L’équivalence est une égalité sur les propositions. P ⇔Qsignifie queP etQsont la même proposition et donc que montrer P est strictement identique à montrer Q.
Le symbole ⇔n’est à utiliser que dans les cas suivants :
– On ne sait pas si P est vrai ou faux. Généralement on veut montrer que P est vrai. On trouve une propriété « plus simple » Q et on sait montrer que P ⇔ Q. Le but étant de se ramener à une proposition clairement vraie (une évidence). Le symbole équivalence permets donc de partir du résultat.
– Dans les équations, le symbole ⇔ signifie que les deux équations ont le même ensemble de définition et le même ensemble de solutions.
Il s’agit des cas où l’on utilise les deux implications (⇒et⇐).
Attention, il faut souvent des arguments pour prouver qu’il y a bien équivalence. Les petites mani- pulations usuelles sont des équivalences : passer un terme de droite à gauche du signe égal, développer, factoriser, etc, mais toute opération autre doit être justifiée.
En particulier :
– la multiplication, division doit se faire que par un nombre non nul (ou positif si on manipule des inégalités),
– des relations du type a=b⇔f(a) =f(b) se justifie systématiquement par un argument.
Exemple: Montrons que pour tout entierk>2 :
√ 1
2k−1 6√
2k−1−√ 2k−3.
Soit k>2, on procède par équivalence :
√ 1
2k−1 6√
2k−1−√ 2k−3
⇐⇒162k−1−q(2k−1)2k−3 car√
2k−1>0
⇐⇒q(2k−1)(2k−3)62k−2
⇐⇒(2k−1)(2k−3)6(2k−2)2 car les deux termes sont des réels positifs
⇐⇒4k2−8k+ 364k2−8k+ 4
⇐⇒364 VRAI
Ainsi :
∀k>2, 1
√2k−1 6√
2k−1−√ 2k−3.
⋆ Manipulation des symboles « et », « ou » et « non »
L’équivalence permets aussi de montrer les points intuitifs suivants : Proposition 1. Soient P, Q, et R des propositions, on a :
– La double négation : non(non P)⇐⇒P. – L’ordre ne compte pas dans des et successifs :
(P et Q) ⇐⇒(Q et P).
– De même pour les ou : (P ou Q)⇐⇒(Q ou P).
– On n’a pas besoin de parenthèse lors de plusieurs et consécutif : (P et Q) etR ⇐⇒ P et (Q et R).
– De même pour les ou :
(P ou Q)ou R ⇐⇒P ou (Q ou R).
Ces propositions sont démontrées en considérant toutes les valeurs possibles deP,QetRet en utilisant des tables de vérités.
Démonstration. Voici la démonstration de la première :
P V F
non P F V
non (non P) V F Il suffit de constater que les lignes 1 et 3 sont identiques.
NB : en logique mathématique PetQ est identique à QetP. En pratique et en informatique, ce n’est pas nécessairement le cas. En effet, la proposition Q peut n’avoir un sens que si P est vraie.
Par exemple : siz∈C, on peut écrirez∈Retz >0, mais écrire : z >0etz∈Rest incorrect puisque siz n’est pas réel, on ne peut pas écrire z >0.
En mathématique, il ne s’agit qu’un minuscule détail de rédaction, mais en informatique cela a souvent de l’importance.
Par exemple, si on dispose d’une liste L de 10 éléments. En python, les indices commencent à 0, les éléments sont donc :L[0], ... ,L[9]. Si on considère un entieri∈[[0,9]], et que l’on veut regarder le contenu des cases (i+ 1) et (i−1), si elles existent, on écrira :
if ((i+1)<10) and (L[i+1] == 0): et if ((i-1)>0) and (L[i-1] == 0):. Ici l’ordre des tests a de l’importance.
On appelle cela l’évaluation paresseuse : si l’ordinateur doit évaluer P etQ il évalue d’abords P. Si celui-ci est faux, il n’évalue pas Q car il sait déjà que P et Q est faux.
De même pour évaluer P ou Q, l’ordinateur évalue P si celui-ci est vrai, il n’évalue pas Q.
Théorème 5 (Distributivité des opérateurs logiques). SoientP, Q, etR des propositions, on a : – Distributivité du « ou » sur le « et » :
(P ou Q)et R ⇐⇒(P et R) ou(Q et R).
– Distributivité du « et » sur le « ou » :
(P et Q) ouR ⇐⇒(P ou R) et(Q ou R).
NB : on a bien sûr une analogie avec (a+b)c=ac+bc.
Démonstration. De la même manière pour la dernière, on a :
P V V V V F F F F
Q V V F F V V F F
R V F V F V F V F
P et Q V V F F F F F F
(P et Q) ou R V V V F V F V F
P ou R V V V V V F V F
Q ou R V V V F V V V F
(P ou R) et (Q ou R) V V V F V V V F
On constate bien que les lignes : (P et Q) ou R et(P ou R) et (Q ou R)sont identiques, ces deux propositions sont donc équivalentes.
On peut aussi prendre la négation du etet du ou : Théorème 6. Soit P et Q deux propositions, on a :
– non(P ou Q) est équivalent à non(P) et non(Q), – non(P et Q) est équivalent à non(P) ou non(Q).
Ici encore, tout est intuitif. La démonstration rigoureuse se fait en considérant les tables de vérité.
Exemple:
– non(« -1 est strictement négatif ») est « -1 est strictement positif ou nul », – non(«−1< x63 ») est «x6−1 ou x >3 »,
– Si l′ est un nombre réel donné, etP(l) la proposition «l=l′ », alors non(P(l))⇔ non(«l>l′ »et «l6l′»)⇔«l < l′ »ou«l > l′ ».
Ainsi lorsque l’on suppose que deux nombres sont distincts, on peut toujours considérer que l’un est supérieur strict à l’autre.
REM : On dit que les opérateurset etousontduaux.
Exemple en informatique : si on pose une question, que l’on attends une réponse « oui » ou « non » et que l’on souhaite reposer la question tant que l’on a pas obtenu « oui » ou « non », on pose la question :
– jusqu’à ce que : « réponse est oui OU réponse est non »,
– donc tant que : « réponse n’est pas oui ET réponse n’est pas non », rep = input("continuer ? [oui/non]")
while (rep<>"oui" and rep<>"non") :
rep = input("merci de repondre oui/non, continuer ? ")
à la fin de la boucle while, on anon(rep<>"oui" and rep<>"non"), autrement dit, on est assuré querep vaut "oui" ou "non".
⋆ Implication et contraposée
L’implication est un autre opérateur sur les propositions. Il signifie qu’une proposition est moins forte qu’une autre. Il a le même sens que >pour les réels.
Définition 7. SoientP etQ deux propositions, on note P ⇒Qet on lit « P implique Q », ou « si P alors Q » la proposition :
P ⇒Q = ((nonP) ouQ).
Cette proposition est fausse uniquement si Q est fausse et P vraie, elle est vraie dans tous les autres cas.
La figure 1.2 montre la table de vérité correspondante.
P V V F F
Q V F V F
P ⇒ Q V F V V
Table 1.2 – Table de vérité deP ⇒Q
Remarque: si P ⇒ Q on dit que Q est une condition nécessaire à P, puisqu’on ne peut avoir P que si on aQ.
On dit aussi que P est unecondition suffisantepour Q, puisqu’il suffit d’avoir P pour avoir Q.
Exemple:
– si P(f) est «f est une fonction dérivable sur un intervalle I », et Q(f) est «f est une fonction continue sur un intervalleI », alorsP(f)⇒Q(f), mais Q(f)⇒P(f) est fausse.
Ainsi, « Être continue » est une condition nécessaire pour « être dérivable » : ce n’est pas la peine de chercher à dériver une fonction non continue. Tandis que, « être dérivable » est une condition suffisante pour « Être continue ».
– x >5⇒x2 >25, la réciproque est bien sûr fausse.
Remarque:
– Du point de vue de la logique mathématique :P ⇒Qest vrai dès queP est fausse.
En pratique, cela indique que pour démontrer qu’une proposition du typeP ⇒Qest vrai, on se place dans le cas intéressant, c’est-à-dire dans le cas où P est vrai, et on montre queQ est vrai.
– Enfin,P ⇒Q est évidement différent deQ⇒P.
– Ne pas écrire ⇒ à la place de « donc ». Ce symbole a un sens précis en mathématique, et n’est donc à utiliser que dans ce cadre : il indique qu’une propriété est plus forte qu’une autre.
Comme on l’a vu pour deux proposition égalité est l’équivalence ⇔ et la comparaison >est ⇒. On a donc l’équivalent de (a=b)⇔a6betb6a.
Théorème 8 (Double implication). SoientP et Q deux propositions, alors on a : (P ⇔Q)⇐⇒(P ⇒Q) et (Q⇒P).
Autrement dit, pour montrer queP est équivalent àQ, on montre queP impliqueQ, puis queQimplique P, c’est la double implication.
Démonstration. Par table de vérité :
P V V F F
Q V F V F
P ⇒ Q V F V V
Q ⇒ P V V F V
(P ⇒ Q) et (Q ⇒ P) V F F V
(P ⇔ Q) V F F V
Lorsqu’on nie une proposition d’implication on a :
Proposition 2. Soit P et Q deux proposition, la proposition non(P ⇒Q) s’écrit :P et (non Q).
Cette proposition est assez intuitive : le contraire que P entraîne Qc’est d’avoirP sansQ Démonstration. Il suffit de revenir à la définition :
non(P ⇒Q) est non(non(P) ou Q), c’est-à-direP et non(Q).
Une autre égalité logique importante à connaître est la contraposé : Proposition 3 (Contraposé). SoientP et Q deux propositions, alors on a :
(P ⇒Q)⇐⇒(non Q)⇒(non P) Démonstration. La preuve se fait encore par table de vérité :
P V V F F
Q V F V F
P ⇒ Q V F V V
non Q F V F V
non P F F V V
non Q ⇒ non P V F V V On voit que les deux lignes correspondantes sont égales.
Le principe de la contraposé est de considérer P ⇒ Qsous la forme : Q est la conséquence deP. Par exemple : «si il pleut alors le trottoir est mouillé». La contraposé dit que l’absence de la conséquence (non Q) est une preuve l’absence de la cause (non P). Dans l’exemple : «si le trottoir n’est pas mouillé, alors il ne pleut pas».
Exemple: On rappelle les définitions suivantes valables pour un entiern : npair ⇐⇒∃k∈N, n= 2k
npair ⇐⇒∃k∈N, n= 2k+ 1.
Pour illustrer la contraposé, l’exemple qu’il faut connaître est : n2 pair ⇒npair, Pour cela, on prends la contraposé et on démontre :
n impair ⇒n2 impair.
On considère pour celanimpair, qui s’écrit donc sous la formen= 2k+ 1 aveck∈N. Et on écrit alors : n2 =(2k+ 1)2 = 4k2+ 4k+ 1
=2(2k2+ 2k) + 1
On pose alorsK = 2k2+ 1, et on aK ∈N, et n2 = 2K+ 1, ainsi n2 est impair. D’où n impair ⇒n2 impair.
et donc :
n2 pair ⇒npair,
⋆ Quantificateurs
Soit E un ensemble, à partir d’une proposition P(x), tel que P(x) a un sens pour tout élément x de E, on peut définir une proposition qui signifie «P(x) est vrai partout » ou « P(x) est vrai quelque part ».
Ces définitions font appel aux quantificateurs universels : « pour tout » et « il existe ».
Définition 9. Soit P(x) une proposition tel queP(x) a un sens pour tout élément x de E, on définit : – (∀x∈E, P(x)), cette proposition signifie
«pour tout élément x de l’ensemble E, P(x) est vrai ».
– (∃x∈E, P(x)), cette proposition signifie
«il existe un élément deE tel que P(x) est vrai ».
– (∃!x∈E, P(x)), cette proposition signifie
«il existe un unique élément deE tel que P(x) est vrai ».
Exemple: La proposition précédente s’écrit précisément ainsi :
∀n∈N, ∃k∈N, n2 = 2k=⇒∃k∈N, n= 2k.
remarquez que lek dans la première partie n’est pas le même que dans la deuxième partie.
Remarque:
– Toute variable introduite dans un énoncée doit être quantifiée. Par exemple, si x n’a pas de valeur connue, écrirex2>0, ne signifie rien. Il faut écrire :∀x∈R, x2 >0, ou écrire : soit xtel que x2 >0.
– La variable estmuette,∀x∈E, P(x) est la même proposition que∀ǫ∈E, P(ǫ). On essayera donc de donner un « sens » au choix du nom des variables. On utilisera ainsin, p, q pour un entier, f pour une fonction,w pour une éventualité etc.
– L’usage des quantificateurs hors des énoncés mathématiques est à proscrire ! – On peut utiliser une virgule, ou un tel que :∃k∈N, tel quen= 2k+ 1.
– On peut aussi écrire :
soit ntel quens’écrit n= 2k+ 1 pour un certain k∈N, plutôt que
soit n∈Nvérifiant :∃k∈N,n= 2k+ 1.
En toute rigueur la deuxième forme est la seule possible car la variablek est quantifiée avant d’être utilisée.
– Dans une proposition quantifiée, on écrit les quantificateurs avant. On écrit :
∀x∈R, x2>0, et pas
x2>0,∀x∈R.
Ici encore, ne pas confondre l’énoncé mathématique précis et ce que l’on dit oralement.
– Les quantificateurs sont des symboles, pas des valeurs.
Exemple: Soit E une partie deR,P etQ les propositions : P : ∃M ∈R, ∀x∈E, x6M Q: ∃M ∈R, ∀x∈E, x < M
A priori, P etQsont différents, mais en fait P etQ sont équivalents. En effet, dansP etQle symboleM désigne deux quantités différentes. Les propositionsP etQsont relatives à l’existence d’un réel M et non à sa valeur.
Montrons précisément l’équivalence.
⇒ si E vérifie Q, alorsE vérifieP avec la même valeur pourM.
⇐ siE vérifieP, alors on sait qu’il existeM, tel que :∀x∈E, x6M. On pose alorsM′ =M+ 1, et on a alors :∀x∈E, x < M′. D’où ∃M′∈R,∀x∈E, x < M′, ce qui est strictement identique (la variable est muette) à Q.
⋆ Négation des quantificateurs
La négation d’une proposition composée d’un quantificateur provient du sens commun :
– nier un « quelque soit » c’est trouver un élément qui ne vérifie pas la propriété, (donc exhiber un contre-exemple),
– nier un « il existe » c’est démontrer que tous les éléments ne vérifient pas la propriété (donc montrer qu’aucun ne vérifie la propriété).
Théorème 10 (Négation d’une assertion quantifiée). Soit P(x) une proposition qui a un sens pour tout élément x d’un ensembleE. On a alors :
non(∀x∈E, P(x)) ⇐⇒ ∃x∈E, non(P(x)) non(∃x∈E, P(x)) ⇐⇒ ∀x∈E, non(P(x))
Par exemple : « non(∀x∈R, x2 >13⇒x >√
13) » est «∃x∈R, x2 >13 etx6√ 13 ».
⋆ Ordre des quantificateurs
Lorsqu’on combine plusieurs propositions avec des quantificateurs, il faut faire attention à l’ordre : les quantificateurs se mettent en début de proposition et se lisent de gauche à droite. Les variables introduite dépendent des précédentes.
Exemple: Soit la proposition
P :∀x >0,∃a >0, a < x.
il faut comprendre : pour tout x >0, il existe un a >0 (qui dépend donc dex), tel que a < x. Ce qui est vrai.
En fait la proposition P s’écrit : ∀x > 0, Q(x), où Q(x) est le proposition : ∃a > 0 : a < x. Souvent dans ce cas, on noteax à la place de apour montrer cette dépendance.
Par contre, soit la proposition
P′ :∃a >0,∀x >0, a < x.
Il faut comprendre : il existe una tel que tout x > 0 vérifiea < x, cette fois-ci, lea ne dépend pas dex.
P′ se décompose en ∃a >0, Q′(a), oùQ′(a) est la proposition :∀x >0, a < x.P′ est alors faux.
Exemple: Par exemple, une fonctionf :R→Rest solution de l’équation différentielle y′ =y, si :
∃λ∈R, ∀x∈R, f(x) =λex.
dans cette écriture le λne dépend pas dex. si on change l’ordre des quantificateurs :
∀x∈R, ∃λ∈R, f(x) =λex,
alors, toute fonction est solution : en effet, étant donné unx∈R, il suffit de poserλ=f(x)e−x, qui vérifie bien :f(x) =λex. On note souvent dans ce dernier casλx pour indiquer queλdépend dex. D’une manière générale, dans une proposition les variables dépendent des variables précédentes.
⋆ Conclusion
Cette partie clôt le premier but : l’ensemble des énoncés que l’on peut démontrer est constitué de propositions, de propositions avec quantificateurs et associés entre eux avec non,ou,et,⇒, et ⇔.
Par exemple, on peut maintenant définir la notion de suite convergente en disant : une suite un est convergente si
∃l∈R,∀ǫ >0,∃N ∈N,∀n∈N, n>N ⇒ |un−l|< ǫ. (1.1) Cet énoncé est une proposition qui dépend de la suite un à qui on peut donner une valeur vraie ou fausse.
Une représentation mentale satisfaisante pour ce type d’énoncé est : « il existe unl, tel que pour toute précisionǫ, on peut trouver un rang N à partir duquelun etlsont égaux à ǫprès ».
II Méthodologie
⋆ Méthodes de démonstration
Le but des mathématiques est maintenant de démontrer que certaines propositions sont vraies,i.e.que des propositions sont desassertion.
Premièrement, certaines propositions sont vraies par choix, ce sont lesaxiomes: on décide que certaines propositions sont vraies, par exemple, on décide que « 0 est le plus petit entier naturel », ou que « toute partie deRmajorée possède une borne supérieure ».
On verra les axiomes au fur et à mesure du cours.
Ensuite, on démontre des assertions, c’est-à-dire des propositions vraies, que l’on déduit d’axiomes et d’autres théorèmes selon plusieurs techniques :
Équivalence si P est vrai et siP ⇐⇒Q alorsQest vrai.
Déduction siP est vraie et siP ⇒Q est vrai, alorsQ est vraie.
Transitivité de l’implication si on a P ⇒Q etQ⇒R alors on a P ⇒R.
Contraposé P ⇒Qest équivalent à non Q⇒ non P.
Raisonnement par l’absurde si on suppose une proposition P et que l’on obtient qu’une autre propo- sitionQ est vraie et fausse, alors c’est que P est faux.
Disjonction des cas Si l’ensembleE est constitué de deux ensembleAetB, avecE=A∪B c’est-à-dire :
∀x∈E, (x∈A) ou (x∈B), et si on a :∀x∈A, P(x) et ∀x∈B, P(x), alors on a :∀x∈E, P(x).
Variable muette Si on a∀x∈E, P(x), et si b∈E alors P(b), cela veut dire c’est qu’on peut remplacer x par n’importe quelle valeur, en particulier, −x, 2xetc.
Exemple: Il est important de connaître ces techniques et de savoir les manipuler, – on a
«x >2⇒x2 >4 » et «x2 >4⇒ |x|>2 » donc «x >2⇒ |x|>2 »
– «x >2⇒x2 >4 » est équivalent à «x2 64⇒x62 », – on a
«∀x>0,|x|>x» et «∀x <0,|x|>x», donc «∀x∈R,|x|>x»
– Pour une fonction f donnée la proposition
∀(x, y)∈D2f, f(x) =f(y)⇒x=y, est équivalente à
∀(x, y)∈D2f, x6=y⇒f(x)6=f(y).
– on a ∀x∈R, sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), donc∀x∈R, sin(x) = 2 cos(x2) sin(x2) Exemple: Montrons que√
26∈Q.
Pour cela on raisonne par l’absurde en supposant que√
2∈Q, ce qui s’écrit :
∃(p, q)∈Z×N∗ premiers entre eux, √ 2 = p
q. On a alors :q√
2 =p, d’où déjàp>0, et p∈N. Puis en élevant au carré, on obtient : 2q2 =p2.
En particulier on en déduit que p2 est pair. En appliquant ∀n∈ N,n2 pair ⇒ n pair. On obtient : p est pair.
On écrit alorsp= 2k, que l’on injecte dans la relation précédente, qui donne : 2q2= 4k2, soitq2 = 2k2. On en déduit queq2 est pair, puis queq est pair.
On a ainsi, p etq qui sont pairs, ce qui est une contradiction avec p etq premiers entre eux.
On verra d’autres techniques par la suite, en particulier la démonstration par récurrence.
⋆ Méthodes de rédaction
Démontrer consiste à expliquer le chemin qui permet de passer d’une proposition vraie à une autre.
Pour cela, il est important de déjà préciser la destination, c’est-à-dire d’exprimer ce que l’on veut démontrer et dans quel terme on va le démontrer.
Avant de se lancer dans une démonstration, il est donc important de commencer par « Montrons que ... ».
Ceci est aussi vrai en cours de raisonnement : on peut indiquer l’endroit où on est « On a donc.... »,
« Il reste à montrer que » et les étapes intermédiaires, par exemple lorsqu’on utilise la contraposée.
Il est aussi important de conclure une question dans les termes de l’énoncé, c’est l’occasion de se relire, de vérifier qu’il n’y a pas d’erreurs de calculs et de présenter correctement le résultat.
Démontrer une implication Pour démontrerP ⇒Q, on voit que siP est faux il n’y a rien à démontrer, P ⇒Q est automatiquement vrai, il faut donc supposerP vrai. On rédige donc en mettant :« Sup- posons ... », et on montre que Qest vrai.
Double implication Pour démontrer une équivalence, il faut démontrer successivement les deux implica- tions. On doit donc clairement séparer les partiesP ⇒Q etQ⇒P.
Utiliser la disjonction des cas Il faut clairement indiquer « On sépare deux cas distincts », et indiquer les différents cas. Il doit être clair qu’on distingue tous les cas possibles.
Raisonnement par l’absurde Bien indiquer la supposition que l’on va nier, et à quel moment elle inter- vient. Ensuite, bien indiquer la contradiction, avant de conclure.
Quelque soit Pour démontrer une proposition composé d’une proposition avec un quantificateur « quelque soit », ∀x ∈ E, P(x), on ne peut pas tester tous les éléments de E un par un. On utilise alors un élément génériquex, qui appartient àE, sur lequel on ne fait aucune autre hypothèse. Si la proposition P(x) est vraie pour cet élément alors elle est vraie pour tout x de E. Il faut donc écrire, « Soit x appartenant à E », ou « Soitx un élément quelconque de E » et on montre P(x). En conclusion, on remets le quantificateur. Pour insister, on peut éventuellement écrire : « on a donc P(x) et comme l’élémentx est quelconque, on a∀x∈E, P(x) ».
Il existe Pour une proposition composé d’une proposition avec un quantificateur « il existe », ∃x ∈ E, P(x), il faut trouver un élément deE pour lequelP(x) est vrai. Il y a deux possibilités :
– lex provient d’un théorème d’existence (ex. : le théorème des valeurs intermédiaires), et on utilise ce théorème pour prouver l’existence de x. On écrit alors par exemple : « d’après le théorème des valeurs intermédiaires, on sait qu’il existe xtel que ... ».
– On construit un élémentxexplicitement. Il faut donc écrire « On posex= » et mettre la définition d’un élément x.
Pour construirexexplicitement, on peut être amené à utiliser une technique « d’analyse-synthèse » : – on suppose que l’élément xexiste et on essaie de trouver quels conditions sont vérifiés dans le but
d’isoler la ou les valeurs possibles (c’est l’analyse), – S’il y a plusieurs possibilités on en choisit une.
– Ensuite, on pose x égal à cette valeur et on vérifie que cette valeur convient (c’est la synthèse).
Pour vérifier que cette valeur convient on vérifie deux points : x∈E etP(x).
Existence et unicité Pour une proposition composée d’une proposition avec un quantificateur « il existe un unique »,∃!x∈E, P(x). Il faut prouver l’existence et l’unicité.
Pour l’unicité, le plus simple est de supposer qu’il y a deux solutions et montrer qu’elles sont égales.
Il est souvent plus simple de commencer par l’unicité qui donne des indications sur l’existence.
⋆ Exemples de démonstration
On donne ici quelques exemples volontairement répétitifs et simplistes :
⋆ Montrons que∀x∈R, x >4⇒x2 >16. Soit x∈R, on suppose que x >4. On a alorsx >4>0, et on ∀a, b∈R,0< a < b⇒0< a2 < b2,i.e.quex7→x2 est croissante sur R+. On obtient ainsix2>16. En conclusion, commex est quelconque dansR, on a donc :
∀x∈R, x >4⇒x2>16 À retenir :
– Pour montrer un « pour tout », on utilise un élément quelconque.
– Pour montrer une implication P ⇒Q, on supposeP et on montre Q.
– On montre au correcteur que l’on a repéré et résolu la difficulté. Ici il s’agit de vérifier que les deux termes sont positifs avant d’élever au carré.
– On écrit une conclusion dans les termes de l’énoncé.
⋆ Montrons que
∀(a, b)∈R×R,∃!(λ, µ)∈R×R: (a=λ+µet b=λ−µ).
NB : faire un dessin pour comprendre le problème.
Soit (a, b)∈R×R,
Unicité Supposons qu’il existe (λ, µ), et (λ′, µ′), qui conviennent, et montrons queλ=λ′ etµ=µ′. On a λ+µ=λ′+µ′, etλ−µ=λ′−µ′,
d’où en ajoutant :
2λ= 2λ′, et doncλ=λ′, puis µ=µ′.
Existence Montrons que :∃(λ, µ)∈R×R: (a=λ+µetb=λ−µ). On raisonne par anayse et synthèse.
Analyse : on suppose que λ existe, on a alors a+b = 2λ, donc λ= a+b2 . On a aussi :a−b= 2µ, doncµ= a−2b. C’est les mêmes calculs que dans l’unicité.
Synthèse Posonsλ= a+b2 ,µ= a−2b, on a bienλ,µexistent et sont réels, et λ+µ= a+b
2 + a−b
2 =a, etλ−µ= a+b
2 −a−b 2 =b.
Doncλetµ conviennent.
Conclusion λ,etµ existent et sont uniques. Et donc :
∀(a, b)∈R×R,∃!(λ, µ)∈R×R: (a=λ+µ etb=λ−µ).
À retenir :
– Utilisez le vocabulaire du cours.
– Pour montrer un « il existe un unique », on commence par l’unicité.
– Pour montrer l’existence, dans le cas où l’on ne devine pas la valeur qui va convenir, on doit faire une analyse. Cela consiste à supposer le problème résolu (l’existence de la solution), et à déterminer quelles sont les solutions possibles. Si il y a unicité, on trouve une seule valeur, sinon il y a plusieurs valeurs possibles, il faut en choisir une.
– Parfois une valeur est donné dans l’énoncé. Il s’agit alors simplement de faire la synthèse, i.e. de vérifier que la valeur convient.
– Faire un dessin peut guider la réflexion.
– L’unicité guide l’analyse, c’est souvent les mêmes calculs.
– La synthèse consiste à poser la valeur trouvée (en choisir une si il y en a plusieurs). Elle commence par « On pose » On vérifie alors que cette valeur convient,i.e.qu’elle appartient au bon ensemble et qu’elle vérifie la propriété. Attention, la difficulté est souvent dans la première partie.
⋆ Soit f : [0,1]7→[0,1], continue. Montrons qu’il existe c∈R,f(c) =c.
On note g la fonction définie sur [0,1] par ∀x ∈ [0,1], g(x) = f(x)−x. Montrons qu’il existe c ∈ R, g(c) = 0.
La fonction g est continue sur [0,1], comme somme de fonctions continues. De plus, g(0) = f(0)>0, etg(1) =f(1)−160. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit qu’il existe c∈[0,1], g(c) = 0.
En conclusion, on a ∃c∈R, f(c) =c.
À retenir :
– Ici on montre l’existence en utilisant un théorème d’existence.
– On introduit nos notations avec « on note »,
– On a besoin d’indiquer une étape avec « Montrons que ».
– Lorsque l’on utilise un théorème, on vérifie les hypothèses (ici le correcteur attends la continuité de la fonctiong).
⋆ Montrons quei /∈R. On raisonne par l’absurde : supposons que i∈R, alors−1>0 car −1 =i2 est le carré d’un nombre réel. Contradiction avec −1<0. Donc i /∈R.
À retenir :
– Bien indiquer le raisonnement par l’absurde, la négation de la propriété que l’on doit démontrer.
– Indiquer la contradiction.
⋆ Soit u etv deux vecteurs deR2, on rappelle queu etv sont colinéaires si : u= 0 ou ∃λ∈R, v=λu.
On note u= (x, y) et v= (x′, y′) les coordonnées des vecteurs, et det(u, v) =xy′−yx′ le déterminant deu etv.
Montrer queu et vsont colinéaires, si et seulement si det(u, v) = 0.
⇒ supposonsu etv colinéaires. On a alors deux cas :
– si u= 0, i.e.x= 0 et y= 0, on a de manière évidente :det(u, v) = 0.
– si v=λu, i.e.x=λx′ ety=λy′, on a alors :
det(u, v) =xy′−yx′ =λx′y′−λy′x′= 0.
Dans les deux cas, on adet(u, v) = 0. D’où une implication.
⇐ réciproquement supposonsdet(u, v) = 0. On distingue plusieurs cas : – Si u= 0 alorsu etv sont colinéaires.
– Sinon on a x6= 0 ou y6= 0.
– six 6= 0, de la relationxy′−yx′ = 0, on déduit :y′= xx′y. On pose alorsλ= xx′, on ax6= 0, donc λest bien défini et réel. On a alors à la fois :
y′= x′
xy ce qui s’écrit y′ =λy
λ= x′
x ce qui donne x′=λx.
Donc v=λu, et u etv sont colinéaires.
– Siy6= 0, alors on pose de même :λ= yy′ qui existe et est réel. On a alors y′ =λy, et de la relation la relation xy′−yx′= 0, on déduit :x′=λx. Donc v=λu, etu etv sont colinéaires.
Dans tous les cas, on au etv sont colinéaires.
À retenir :
– L’égalité n’a pas le même sens dans tous les ensembles ! Ici u = 0 est une égalité de vecteurs, qui signifie doncx= 0 ety= 0. De même, les opérations +,·,×n’ont pas le même sens selon la nature des éléments. iciuλv signifie x=λx′ et y=λy′, c’est une opération « réel multiplié par vecteur ».
– On travaille par disjonction des cas, en traitant chaque cas et avec une conclusion.
– On fait implication et réciproque et on indique clairement ces deux parties.
– Remarquez dans l’existence, le fait que λexiste demande un argument.
– Souvent un cas est symétrique de l’autre, on le traite ou on indique simplement que « par symétrie, on obtient de même ... »
⋆ Résolution de système avec paramètres.
⋆ Montrer que ∀x∈]−1,+∞, lnx>1 +x (exemple de∀ avec une dérivation).
III Vocabulaire des ensembles
⋆ Définitions
La notion d’ensemble est intuitive et ne se définit pas, elle correspond à une collection d’objets. Un ensemble E est donc la collection (i.e. sans ordre) d’éléments.
Un ensemble peut contenir des nombres, des fonctions, des ensembles etc.
– l’ensemble videnoté ∅est l’ensemble qui ne contient aucun élément,
– l’ensembleN est l’ensemble desentiers naturels: 0, 1, 2, 3 etc. On note N∗, l’ensemble des entiers naturels différents de 0,
– l’ensembleZ est l’ensemble desentiers : 0, 1, -1, 2,-2, 3 etc.
– l’ensemble Qest l’ensemble desrationnels : pq, p∈Z, etq ∈N∗. On peut supposerp etq premiers entre eux.
Les nombres√
2, etπ n’appartiennent pas à cet ensemble.
– l’ensemble R est l’ensemble des nombre réels : 0, 1, √
2, π.... R∗ est l’ensemble des réels non nuls, R+ est l’ensemble des réels positifs,R− des négatifs, on définit aussiR+∗ etR−∗.
– Cest l’ensemble des nombres complexes.
– R[X] est l’ensemble des polynômes,RNest l’ensemble des suites réelle.
– l’ensemble C0 est l’ensemble des fonctions continues, C1 est l’ensemble des fonctions dérivables dont la dérivée est continue.
– l’ensemble n∅,{a},{a, b, c}o est une collection d’ensemble, c’est donc un ensemble qui contient des ensembles.
– En probabilité, on peut s’intéresser à : – L’ensemble des tirages de 3 dés :
– L’ensemble des tirages consécutifs de 3 dés, qui forment une suite croissante.
– L’ensemble des tirages deP/F de longueurn
Certains ensembles sont finis(ont un nombre fini d’éléments), certains sontinfinis.
Définition 11. Pour un élément a de l’ensemble, on dispose de la notation a ∈ E pour dire « a est élément de E ». La négation est a /∈E.
Un ensemble F est un sous-ensemble de E si tout élément f deF vérifief ∈E, on note F ⊂E.
Cela s’écrit :
F ⊂E⇐⇒ ∀f ∈F, f ∈E.
On appelle ensemble des parties deE, l’ensemble des sous-ensembles de l’ensemble E (qui est aussi un ensemble), on le note P(E).
Lorsque x est élément de E, on peut créer le singleton c’est la partie de E constituée uniquement de l’élément x, on le note {x} ⊂E.
Il ne faut pas confondrex∈E et{x} ⊂E, avec de plus{x} ∈P(E).
Exemple: Sia < b
– l’intervalle [a, b] est l’ensemble des réelsx tels que a6x6b,
– l’intervalle ]a,+∞[ est l’ensemble des réels xtels quea6x, on définit de même ]− ∞, a], [a, b[, ]a, b[
etc.
Ce sont des sous-ensembles de R. Plus précisément, ce sont des intervalles de R: une partieI de R, est un intervalle si et seulement si :
∀(x, y)∈I,∀z∈R, x < z < y ⇒z∈I.
Exemple: Écrire un exemple en dénombrements pour expliquer l’intérêt de l’ensemble des parties.
NB :
– le symbole6⊂ n’existe pas, par contre il existe un symbole⊃. – D’un autre côté, le symbole 6∈existe, mais pas le symbole ∋.
⋆ Égalité et inclusion d’ensembles
Deux ensemblesF etGsont égaux (notéF =G) siF ⊂GetG⊂F. Pour montrer que deux ensembles sont égaux, il y a donc une double implication à démontrer :
– partant d’un élément génériquef deF, montrer que l’on f ∈G, – partant d’un élément génériqueg de G, montrer que l’ong∈F
On voit le lien avec la double implication, carF =Gest équivalent à∀x∈E, (x∈F ⇔x∈G).
De même, pour démontrer que F ⊂G, on part d’un élément génériquef de F, et on montre que l’on f ∈G.
⋆ Description d’un ensemble
Il existe plusieurs manières de décrire un ensemble :
donner directement ces éléments par exemple : Ω = n1,2,3,5o. On peut aussi utiliser . . . : Ω = n1, . . . , no. Lorsque l’on écrit : Ω = nx1, . . . , xn
o, il est sous-entendu que les xi
sont distincts, sinon il faut le préciser.
sous forme d’équation cartésienne On part d’un ensemble plus grand F, et on définit l’ensemble E, comme les éléments x de F vérifiant une propriétéP(x) :
E=nx∈FP(x)o Par exemple :
nx∈Rx= cos(x)o nf ∈ C0(R)∀x∈R, Z x2
x
f(x)dx=exo
(on peut remplacer la barre verticale |par « tel que »). L’avantage de cette représentation est qu’il est facile de vérifier si un élément x est dans E, il suffit de regarder si P(x) est vrai. Par contre, il est difficile d’en construire un élément, et si on sait que x ∈ E, il faut trouver comment utiliser l’information P(x).
sous forme de paramètres On part d’un ensemble A, et on définit E, comme l’ensemble des éléments xde F qui s’écrivent sous la formef(a) poura∈A, oùf est une fonction deAdansE. C’est en fait une simple variante du cas précédent, dans le cas oùP(x) s’écrit avec un « il existe »
E =nx∈F∃a∈A, x=f(a)o Souvent, on utilise une représentation plus simple :
E =nf(a)|a∈Ao. Par exemple :
n(x, y, z)∈R3∃(a, b)∈R2, (x, y, z) = (a+b, a, b)o ou n(a+b, a, b)(a, b)∈R2o
Dans la deuxième écriture, la barre verticale|peut être remplacé par « pour (a, b) variant dansR2».
L’avantage de cette représentation est qu’il est facile de construire des éléments de E, et il est facile d’utiliser l’informationx∈E : on sait qu’il existea∈A, tel quex=f(a). On remplace alors dans la suitex par son expression en fonction dea.
Par contre, il est difficile de vérifier qu’un élémentx appartient àE, il faut construire (par analyse/- synthèse) un élémentade A et tel quex=f(a).
Le passage d’un mode de représentation à l’autre est un problème central en mathématiques.
Par exemple, résoudre l’équation y′ =y, revient à écrire :
ny:R→Rdérivabley′ =yo=nx→λexλ∈Ro. Autre exemple : la droite ∆ passant par A(xA, yA) et de vecteur directeur −→
U = (ux, uy) est l’ensemble des points :
∆ =n(xA+λux, yA+λuy)λ∈Ro. Si on utilise une représentation de ∆ par un vecteur normal−→
N :
∆ =nM ∈ P
−−→AM⊥−→
No.nM ∈ P
−−→AM ·−→ No.
(iciP est l’ensemble des points du plan). La représentation d’une droite sous forme d’équation cartésienne est :
∆ =n(x, y)∈ P−uyx+uxy+uyxA−uxyA= 0o. Autre exemple : le cercle trigonométrique :
n(x, y)∈R2x2+y2= 1o=n(cosθ,sinθ)θ∈Ro.
⋆ Opérations sur les parties
Définition 12. Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E, on définit le complémentaire de l’ensemble A par :
A¯=nx∈Ex /∈Ao l’intersection des deux ensembles A et B par :
A∩B =nx∈Ex∈A etx∈Bo,
la réunion des deux ensembles A et A définie :
A∪B =nx∈Ex∈A oux∈Bo.
Remarque: La notation ¯A est imprécise : on ne sait pas dans quel ensemble on prends le complémen- taire (c’est le contexte qui donne cet ensemble). Par exemple : si on considère que [0,1] est une partie de R, son complémentaire est : [0,1] =]− ∞,0[∪]1,+∞[, si on considère que [0,1] est une partie de [0,2], alors son complémentaire est : [0,1] =]1,2]. En pratique il n’y a jamais d’ambiguïté, c’est le contexte qui indique dans quel ensemble on prends le complémentaire.
Remarque: Il existe un autre opérateur : siA etB sont deux parties de E, on note :A\B =A∩B.
Le symbole \ signifie donc « privé de ». En pratique, on l’utilise peu dans le cas général (cette notation n’est pas explicitement au programme).
Elle a son intérêt parfois, par exemple : – N\ {3} désigne les entiers naturels sauf 3,
– N\ {0,1,2} désigne les entiers naturels supérieur ou égaux à 3.
– R\nπ2 + 2kπk ∈Zo désigne les réelsx vérifiant sin(x) 6= 0 (ensemble de définition de la fonction tangente).
La proposition suivante exprime ce qui se passe lorsqu’on combine ces opérateurs. Ici encore, rien de très étonnant.
Proposition 4 (Manipulation des symboles∪,∩et ¯). Soient A, B, et C trois sous-ensembles de E. On a :
– A=A,
– ∅=E, E=∅,
– A∩B =B∩A et A∪B =B∪A
– A∩(B∩C) = (A∩B)∩C, etA∪(B∪C) = (A∪B)∪C – relations appelées loi de Morgan :
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) . – A∪B = ¯A∩B, et¯ A∩B = ¯A∪B.¯
Démonstration. Ces énoncés ne sont que la traduction de la proposition 1 en terme d’ensemble et non de proposition.
Par exemple, pour les lois de Morgan :
∀x∈A∩(B∪C) ⇐⇒ x∈A et (x∈B ou x∈C)
⇐⇒ x∈A etx∈Bou x∈A etx∈C
⇐⇒ x∈(A∩B)∪(A∩C) De même :
x∈A∪B ⇐⇒ non(x∈A∪B)⇐⇒non(x∈A oux∈B)
⇐⇒ x∈A etx∈B ⇐⇒x∈A∩B
D’une manière générale, il est inutile de retenir ces formules, il vaut mieux les retrouver rapidement sur un dessin.
Remarque: SiA1, . . . An sontnsous-ensembles deE, on définit la réunion des ensembles (Ai)i=1...n :
\n i=1
Ai ={x∈E| ∀i= 1. . . n, x∈Ai}.
Et l’intersection des ensembles (Ai)i=1...n : [n i=1
Ai ={x∈E| ∃i= 1. . . n, x∈Ai}.
⋆ Couple, n-uplets, produit cartésien
Définition 13. Soit E et F deux ensembles, on appelle produit cartésien de E par F, l’ensemble des couples (e, f), avec e∈E, et f ∈F. On note cet ensembleE×F, et on lit «E croix F »
Les éléments de E ×F sont représentés par un couple (e, f), par exemple cela correspond aux deux coordonnées d’un point du plan ou au deux coordonnée d’un vecteur.
Dans un couple, il y a donc un ordre, (e, f)6= (f, e). L’ensembleE×F est différent de l’ensembleF×E, sauf bien sûr si F =E.
On note E×E =E2, on généralise par récurrence àEn, pourn∈N∗.
Note: Par exemple lorsqu’on écrit « Soit (x, y)∈R2», cela signifie : « Soit xet ydeux réels ».
Définition 14. Pour n ∈ N∗, les éléments de En sont des n-uplet, ou des n-liste d’éléments de E. Ils s’écrivent(x1, . . . , xn), où ∀i∈[[1, n]], xi∈E.
Ces éléments sont souvent utiles en dénombrements. Exemple si on tire n fois à P/F, l’ensemble des tirages possibles estP, Fn.
