⋆ Cercle trigonométrique
Définition 39. On appelle cercle trigonométrique, le cercle C de rayon 1 et de centre 0 dans le plan complexe. Ce cercle correspond donc à l’ensemble
U =nz∈C
|z|= 1o.
Géométriquement chaque point de C peut être représenté par l’angle θ = (−→i;OM) (angle avec l’axe horizontal) il a donc pour coordonnée (cos(θ),sin(θ)).
On admet donc que
∀z∈U,∃θ∈R, z= cos(θ) +isin(θ).
ou énoncé de manière différente :
nz∈C|z|= 1o=ncos(θ) +isin(θ)θ∈Ro On dit que θ est un argumentdu nombre complexe z.
Si θ0 est un argument, les autres sont de la forme θ0+ 2kπ, avec k∈Z. On appelle argument principal, l’unique argumentθ∈]−π, π].
Remarque:
– L’argument est donc unique à « 2π près » , ce qui correspond à l’idée intuitive qu’un angle est défini à 2π près.
– On choisit parfois l’argument principal comme l’unique argument de [0,2π[, cela dépends du contexte.
– Pour deux réels θetα, on a :
∃k∈Z, θ =α+ 2kπ⇔
cos(θ) = cos(α) sin(θ) = sin(α)
⋆ Écriture exponentielle d’un nombre complexe
De la même manière, un vecteur non nul peut être représenter par sa longueur et l’angle fait avec l’horizontale. Donc un nombre complexe non nul peut être représenté par sa longueur|z|, et cet angle.
On définit de manière naturelle :
Définition 40. Soit zun nombre complexe non nul, on appelle argumentdez, un argument de z
|z|, c’est un nombre réel θ tel que :
ℜ(z) =|z|cos(θ), et ℑ(z) =|z|sin(θ).
L’écriture trigonométrique du nombre complexe z est alors : z=|z|(cos(θ) +isin(θ)). Remarque:
– Il faut quez soit non nul sinon cela n’a pas de sens. Avant de mettre un nombre complexe sous forme trigonométrique, on s’assurera qu’il est non nul. Par contreρeiθ existe même si ρ= 0.
– Pour déterminer l’argument d’un nombre complexe (et donc la forme ρeiθ), on « factorise » par|ρ|. Définition 41. Soient ρ >0 et θ∈R, on note ρeiθ, le nombre complexe
z=ρcos(θ) +iρsin(θ) =ρeiθ. Cette notation est appelée écriture exponentielle d’un nombre complexe.
On a vu que tout nombre complexe non nul admet une écriture exponentielle.
On a ρeiθ =ρ′eiθ′ si et seulement si ρ=ρ′ et ∃k∈Z, θ=θ′+ 2kπ.
Attention, ρ doit être strictement positif et θn’est pas unique.
Exemple:
ei0 = 1 eiπ4 = 1 +i
√2 eiπ2 =i eiπ =−1.
Proposition 14. Si ρ etρ′ sont deux nombre strictement positifs, et θ et θ′ sont deux réels, alors on a (ρeiθ)(ρ′eiθ′) = (ρρ′)eiθ+θ′
ρeiθ
−1
= 1 ρe−iθ ρeiθ=ρe−iθ
En conclusion : la forme exponentielle est utile pour calculer le produit de nombre complexe.
Démonstration.
ρeiθ×ρ′eiθ′ = ρρ′cos(θ) +icos(θ)cos(θ′) +icos(θ′)
= ρρ′ cos(θ) cos(θ′)−sin(θ) sin(θ′) +icos(θ) sin(θ′) + sin(θ′) cos(θ)
!
= ρρ′cos(θ+θ′) +isin(θ+θ′)
= ρρ′eiθ+θ′
La deuxième relation se déduit de la première : il suffit de vérifier queρeiθ× 1ρe−iθ = 1.
Enfin :
ρeiθ =ρ cos(θ)−sin(θ)=ρ cos(−θ) + sin(−θ)=ρe−iθ
Ce qui signifie que :
– le module du produit est le produit des modules,
– unargument du produit est la somme des deux arguments, On trouve par exemple facilement les propriétés de l’argument.
Note: On notearg(z) un argument d’un nombre complexez. Cette notation est donc ambiguë, l’argument est défini à 2πprès. Autant que possible il faut éviter cette notation.
Proposition 15. Soientz et z′ deux nombres complexes non nul,θ(resp. θ′) un argument dez (resp. z′).
On a :
– un argument de zz′ est θ+θ′.
– Pour n∈N,un argument de zn est nθ.
– Un argument de 1z est−θ.
– Un argument de zz′ estθ−θ′. – Un argument de z est −θ.
Note: z1 etzont donc les mêmes arguments, ce qui est évident puisque : 1z =|zz|2 et que siλ >0, les arguments deλzsont les mêmes quez.
Remarquons que le cercle trigonométrique peut s’écrire :
nz∈C|z|= 1o=ncos(θ) +isin(θ)θ∈Ro=neiθθ∈Ro.
⋆ Interprétation géométrique de la multiplication
On a vu qu’ajouter des nombres complexes, revient à ajouter les vecteurs correspondants. La notation trigonométrique a, de plus, l’avantage de donner un sens à la multiplication de deux complexes :
Proposition 16. Soit z∈C etM le point d’affixe z, et θ∈R, alors le point M′ d’affixe zeiθ est l’image de M par la rotation de centre 0 (l’origine) et d’angle θ.
Démonstration. Tout simplement : si z=reiα, alors z′ =zeiθ =rei(θ+α). En regardant les points corres-pondants dans le plan complexe, on obtient le résultat.
⋆ Formule d’Euler On a les formules d’Euler :
Proposition 17 (Formules d’Euler). Pour θ∈R, on a : cos(θ) = eiθ+e−iθ
2 et sin(θ) = eiθ−e−iθ 2i . Démonstration. C’est une ré-écriture deℜ(z) = z+z2 pour z=eiθ.
La formule d’Euler permet de linéariser des cos(x)n, en les exprimant sous la forme de cos(kx) et sin(kx), pour k= 1. . . n.
Par exemple, on a
cos(x) sin(x) = 1
4i(eix+e−ix)(eix−e−ix)
= 1
4i(ei2x+ 1−1−e−i2x)
= 1
4i(ei2x−e−i2x)
= 1
2sin(2x) Remarque:
– La formule d’Euler permet d’exprimer un nombre réel cos(θ) en fonction d’un nombre a priori com-plexe eiθ+e2−iθ.
– Dans l’exemple ce n’est pas un hasard si les termes de degré 0 se simplifie : on sait depuis le début que l’on manipule un nombre réel, donc que l’on va tomber sur la formule d’Euler pour «revenir » dansR.
– La parité du cosinus et l’imparité du sinus se lisent sur les formules d’Euler.
⋆ Factorisation par l’angle de moitié
Une technique importante liée à la formule d’Euler est la factorisation par l’angle de moitié: si on considèreeia+eib, alors on peut factoriser pareia+b2 , pour obtenir :
eia+eib = eia+b2 eia−b2 +eib−a2
= 2 cosa+b 2
eia+b2
Remarque:
– Ne pas apprendre cette formule par cœur, il faut avoir compris la méthode.
– La factorisation par l’angle de moitié à une interprétation géométrique : en dessinant les deux vecteurs correspondants sur le cercle, on voit que l’argument de la somme est l’angle «au milieu », on parle donc d’angle de moitié et non d’angle moyen.
– dans l’écriture :eia+eib= 2 cosha+b2 ieia+b2 . Le module n’est pas forcément 2 cosha+b2 icar ce nombre peut être négatif.
Néanmoins, cette écriture permet facilement d’avoir le module, la partie réelle et imaginaire (ce qui est souvent le but).
– Cette formule permet de retrouver les formules trigonométriques.
⋆ Formule de Moivre
Ensuite de (eiθ)n=einθ, on déduit les formules de Moivre : Proposition 18 (Moivre). Pour θ∈R, etn∈Z, on a :
(cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ
Ces formules permettent de passer d’un cos(nx) à une somme de cos(x)ket sin(x)k, pour desk= 1. . . n.
Exemple:
cos(3x) +isin(3x) = cos(x) +isin(x)3
= cos3(x) + 3icos2(x) sin(x)−3 cos(x) sin2(x)−isin3(x)
= cos3(x)−3 cos(x) sin2(x)+i3 cos2(x) sin(x)−sin3(x)
D’où
cos(3x) = cos3(x)−3 cos(x) sin2(x) sin(3x) = 3 cos2(x) sin(x)−sin3(x) Remarque:
– La formule de Moivre est très lié à la formule de Newton, qui permet de développer (cosθ+isinθ)n, souvent on mettra la puissance duksur le isin(θ), et on séparera les cas oùkest pair / impair pour isoler la partie réelle et imaginaire.
– On la couple aussi souvent avec la formule cos2x+ sin2x = 1, de manière à ne plus avoir que des cosinus ou des sinus dans le résultat final.
Exemple: En utilisant cos2x+ sin2x= 1 on obtient les formule de cos(3x) en fonction uniquement de cos(x) :
cos(3x) = cos3(x)−3 cos(x)(1−cos2(x)) = 4 cos3(x)−3 cos(x) On écrit souvent ce résultat sous la forme :
cos(3x) =T(cos(x)), avec T :X 7−→4X3−3X.
⋆ Exemple d’utilisation de la formule de Moivre
Cette partie est un exemple. Elle n’est dans le cours que pour montrer le calcul dans le cas général. Le résultat n’a pas d’intérêt et est à re démontrer.
cosnθ+isinnθ=(cosθ+isinθ)n
On choisit ici de mettre la puissance duk sur lei, pour isoler la partie réelle et imaginaire.
Sik est pair, il s’écrit sous la forme : 2p etik=i2p = (−1)p, tandis que si kest impair il s’écrit sous la
D’où on déduit les deux relations : cosnθ= X
Note: On peut même prolonger le calcul en utilisant la relation cos2θ+ sin2θ= 1.