⋆ Nombre de parties d’un ensemble
On rappelle queP(E) est l’ensemble des parties de E, c’est-à-dire l’ensemble des sous-ensemble deE.
Proposition 51. Soit E un ensemble fini de cardinal p, alors P(E) est fini et on a : Card(P(E)) = 2p
Démonstration. La démonstration se fait par choix successifs. On noteE =ne1, e2, . . . , ep
o. On cherche à déterminer combien de choix on a pour construire une partieA de E.
– poure1, on a deux choix : mettre e1 dans la partie ou pas, – idem poure2, etc.
On a donc 2p choix.
On peux aussi dire que l’on met en bijection les parties deE avec lesp-liste denpresent,absento. Le cas où l’on considère les parties d’un ensemble est celui où l’on tire un certain nombre d’éléments sans ordre.
Exemple: Toujours avec 5 boules numérotées et 3 boîtes, le contenu possible d’une des boîtes est l’ensemble des parties de [[1,5]], il y a donc 25 possibilités pour une boîte donnée.
⋆ Combinaisons
Définition 61. Soit E un ensemble fini et p ∈ N. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E à p éléments. On note Pp(E) l’ensemble des combinaisons à p éléments de E.
Ainsi Pp(E) est une partie deP(E) qui contient les ensembles à p éléments.
Proposition 52. Si card(E) =n Le nombre de combinaison de p éléments de E est : n
p
!
= n!
p!(n−p)! = n×(n−1)× · · · ×(n−(p−1))
p! = Apn
p!
Les combinaisons interviennent dans le cas où l’ordre n’a pas d’importance par exemple dans le cas de permutations de l’ensemble [[1, p]].
Il y a donc Ap!pn arrangements possibles.
⋆ Interprétation des formules sur les binomiaux en terme combinatoire On peut ainsi interpréter différentes formules.
n 0
!
= 1 car il n’y a que l’ensemble vide qui contient un seul élément.
n 1
!
=ncar on compte les singletons,i.e.les éléments.
n
car il y a autant de parties que de complémentaires de parties.
Xn
k=0
n k
!
= 2n parce qu’ajouter l’ensemble des parties P(E) est l’union disjointe des ensembles des parties à 0, 1, 2, jusqu’àn élément. Ce qui s’écrit :
P(E) = [n k=0
Pk(E) union disjointe Donccard(P(E)) vérifie :
card(P(E)) = Xn k=0
card(Pk(E)) Le triangle de Pascal :
n+ 1
considérons l’ensemble E desp+ 1 combinaison de [[1, n+ 1]], c’est donc l’ensemble des parties dep+ 1 éléments de [[1, n+ 1]]. On a vu dans le cours que : card(E) = n+ 1
p+ 1
! . On découpe E en deux parties disjointes :
– l’ensemble des parties contenant n+ 1 notée E1,
– l’ensemble des parties ne contenant pas n+ 1 notée E2.
puisque l’on construit les parties àp+ 1 éléments de [[1, n+ 1]] ne contenant pasn+ 1, donc les parties àp+ 1 éléments de [[1, n]].
Une partie deE1est une partie dep+1 éléments de [[1, n+ 1]] contenantn+1, elle est donc entièrement déterminé par la donnée d’une partie depéléments de [[1, n]] auquel on ajoute l’élément n+ 1.
Ainsi, card(E1) = n p
! .
Ce qui donne la formule du triangle de Pascal : n+ 1
Feuille d’exercices (5) Outils 6 : Dénombrements
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ =
Mots clés : Dénombrements. Cardinal. Cardinal et opérations sur les ensembles. Cardinal des l’en-semble des listes, des arrangements, des permutations. Cardinal de l’enl’en-semble des parties, de l’enl’en-semble des combinaisons.
Savoir-faire :
– Dénombrements classiques (les trois premiers exercices de la feuille dénombrements).
– Dénombrer un ensemble en construisant une bijection avec un ensemble dont on connaît le cardinal.
Exemple : les p-listes strictement croissante de [[1, n]].
Pour résoudre les problèmes de dénombrements, il est important de commencer par déterminer l’univers Ω (i.e.l’ensemble des tirages possibles) et son cardinal. Les exercices types sont ceux où l’on tire une carte dans un jeu ou une boule dans une urne.
Il faut alors se demander si les tirages sont :
– simultanés,i.e.sans ordre (parties d’un ensemble).
– ou successifs,i.e.avec ordre, ce dernier cas se séparant en deux : – avec remise (produit cartésien du même ensemble),
– ousans remise(arrangements).
On a donc trois cas possibles, qu’il faut bien avoir compris.
Un dernier cas, est celui où l’on part d’un ensemble de cardinal n et où l’on s’intéresse aux per-mutations de cet ensemble (ce qui revient à faire n tirages sans remise). C’est par exemple le nombre d’anagrammes.
⋆ Compléments sur les binomiaux Exercice 1 Démontrer :
∀n∈N,∀k∈[[0, n]], (k+ 1) n+ 1 k+ 1
!
= (n+ 1) n k
! . Démontrer :
∀n∈N,∀m∈[[0, n]],∀k∈[[0, m]], n m
! m k
!
= n
k
! n−k m−k
!
⋆ Dénombrements classiques
Exercice 2 On tire simultanément 4 cartes d’un jeu de 32.
1. Quel est l’univers associé et son cardinal ?
2. Combien de tirages sont constitués de quatre trèfles ?
3. Combien de tirages sont constitués de quatre cartes de la même couleur ? (couleur signifie : trèfle, carreaux, pique ou cœur).
4. Combien de tirages sont constitués de quatre cartes de couleurs différentes (pas tous la même couleur) ? 5. Combien de tirages sont constitués de quatre cartes qui sont de quatre couleurs distinctes deux à
deux ?
6. Combien de tirages sont constitués de quatre cartes de la même couleur qui se suivent ? 7. Combien de tirages sont constitués de quatre cartes qui se suivent ?
8. Combien de tirages sont constitués de quatre cartes qui se suivent et qui sont de couleurs différentes ? de quatre couleurs distinctes deux à deux ?
Correction : 1. 324.
2. 84. 3. 4× 84. 4. 324−4 84. 5. 84
6. 4×5.
7. 5×44.
8. 5×44−4×5 ou 5×4×3×2×1.
Exercice 3 On tire successivement et sans remise 6 jetons dans un sac contenant les 26 lettres de l’alphabet.
1. Quel est l’univers associé et son cardinal ?
2. Combien de tirages contiennent une consonne au rang 2 ?
3. Combien de tirages contiennent des consonnes aux rangs 2, 4 et 6, et des voyelles aux rangs 1, 3 et 5 ?
4. Combien de tirages forment une suite strictement croissante dans l’ordre alphabétique ?
5. Combien de tirages sont constitués de 6 jetons consécutifs dans l’alphabet sortis dans le bon ordre ? 6. Combien de tirages sont constitués de 6 jetons consécutifs dans l’alphabet non nécessairement sortis
dans le bon ordre ? Correction :
1. A626.
2. 21×A525, autre méthode : séparer cas où la première est consonne/voyelle.
3. A320×A36. 4. 266.
5. 21 (attention au +1.) 6. 21×6!
Exercice 4 On tire successivement avec remise 5 boules dans un ensemble de 15 boules numérotées de 1 à 15.
1. Quel est l’univers associé et son cardinal ?
2. Combien de tirages contiennent des nombres distincts deux à deux ? 3. Combien de tirages ne sont constitués que de nombres pairs ? 4. Combien sont formés de deux « 1 » et de trois « 2 » ?
5. Combien sont formés de deux « 1 » puis de trois « 2 » ?
6. Combien sont formés de deux « 1 » exactement ? De au moins deux « 1 » ?
7. Combien sont formés de au moins deux nombres différents ? De deux nombres différents et deux seulement ?
8. Combien sont formés de cinq nombres tirés dans l’ordre croissant ? Correction :
1. 155 2. A515. 3. 75
4. 25(place des 2 ou des 1) 5. 1
6. 25×143.
2 5
×153 est faux, il faut 155−145−5×144. 7. 155−15. 152(25−2), ou 15×h 53+ 54i×14.
8. 155
Exercice 5 On distribue les 32 cartes d’un jeu de cartes à 4 joueurs, chacun recevant donc 8 cartes. Quel est le cardinal de l’univers associé ?
Correction : On peut décrire l’univers comme l’ensemble des partitions des 32 cartes en 4 parties à 8 éléments. 328× 248× 168× 88, ce qui se simplifie.
Exercice 6
1. Combien y a-t-il de dominos dans un jeu normal ? Un domino est constitué de deux parties contenant un symbole de [[0,7]], les dominos [1,3] et [3,1] étant les mêmes.
2. Un octet est constitué de 8 symboles 0 ou 1. Combien y’a-t-il d’octets différents ? 3. Combien existe-t-il d’anagrammes du mot abracadabra?
Correction :
1. 7 + 72 (double + paire différentes) 2. 28.
3. 115× 62× 42×2.
Exercice 7 On dispose d’une urne contenant trois boules blanches numérotées de 1 à 3 et de deux boules noires numérotées de 4 à 5. On tire une à une successivement les cinq boules de l’urne (sans remise).
Combien y a-t-il de façons d’obtenir deux boules blanches lors des deux premiers tirages ? Correction : Puisque les boules ont des numéros, elles sont discernables. Choix successifs : – Choix des deux boules blanches dans les 2 premiers tirages : A23,
– Choix des places des autres : 3!.
Final : 3×2×3×2.
Autre méthode :
– Choix de la place de la troisième boule blanche : 3,
– permutation des boules blanches dans les places choisies : 3!
– permutation des boules noires : 2!.
⋆ Dénombrements et applications
Exercice 8 Soit E etF deux ensembles finis.
1. Si il existe ϕinjective de E dansF, montrer que card(E)6card(F) ? 2. On considère un entier n>2, et un réseaux de nordinateurs.
Chaque ordinateur est relié à aucun, un ou plusieurs autres ordinateurs du réseaux
On considère que cette relation est symétrique : si un ordinateurA est relié à un ordinateurB, alors B est relié àA. Par contre, A n’est pas relié à lui-même.
Montrer qu’il existe deux ordinateurs dans le réseau qui ont le même nombre de connexion (qui sont reliés au même nombre d’ordinateur).
On considérera l’applicationN qui à l’ordinateuri∈[[1, n]] associe le nombre de connexions Ni. 3. Si il existeϕsurjective deEdansF, montrer quecard(F)>card(E) (pour cette question seulement,
on se contentera de l’intuition) Exercice 9
1. Combien y a-t-il de surjections de l’ensemble {0, . . . n}dans l’ensemble {1, . . . n}? 2. Combien y a-t-il de surjections de l’ensemble {1, . . . n}dans l’ensemble {0,1}?
3. Combien y a-t-il d’applications strictement croissantes de {1, . . . k} dans{1, n}pour k < n? 4. Même question pour les applications strictement décroissantes.
5. Combien y a-t-il d’injection de [[1, n]] dans [[1, p]] ? 6. Combien y a-t-il de bijections φde {1, n} dans{1, n}?
7. On choisit un élément k∈1. . . n, combien de bijections vérifient φ(k) =k? Correction :
1. Par choix successifs :
– Choix de l’élément de [[1, n]], qui a deux antécédents :n, – Choix de ces deux antécédents : n+12 ,
– Choix de la permutation desn−1 éléments qui restent : (n−1)!.
2. On considère toutes les applications de [[1, n]] dans {0,1}, c’est-à-dire 2n applications. Le complé-mentaire de l’ensemble que l’on cherche est celui constitué de deux applications : les applications constantes égales à 0 ou à 1. Le cardinal est donc 2n−2.
3. Choisir une application strictement croissante revient à choisir une partie dekéléments parmin. En effet, pour une application strictement croissante, la partief([[k, n]]) correspond à kentiers distincts de [[1, n]]. Réciproquement pour une partie àkéléments parmin, notée :x1 < x2<· · ·< xk, on pose f :i7→xi. On a alors construit une application strictement croissante. Au final : nk.
4. Même raisonnement, donne le même résultat.
5. n! d’après le cours.
6. Si on imposeφ(k) =k, il reste une permutation den−1 éléments restant, donc (n−1)!.
⋆ Dénombrements des parties d’un ensemble Exercice 10 Fonctions caractéristiques
Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N∗. On désigne par P(E) l’ensembles des parties de E, et par {0,1}E l’ensembles des applications de E dans{0,1}.
Pour une partieA⊂E, on note 11A l’application :
11A:
E → {0,1} x 7→
( 1 si x∈A 0 si x /∈A 1. Montrer que
φ
( P(E) → {0,1}E A 7→ 11A
est une bijection. Retrouver le cardinal deP(E).
2. Vérifier que pourA, B ∈ P(E) et x∈ E, on a : 11A¯(x) = 1−11A(x), 11A∩B(x) = min(11A(x),11B(x)) et 11A∪B(x) = max(11A(x),11B(x))
Exercice 11 Nombre de couple de parties incluses l’une dans l’autreSoitE un ensemble fini de cardinal net soitA={(X, Y)∈P(E)2|Y ⊂X}.
1. Pour toutk∈[[0, n]], on poseAk={(X, Y) ∈P(E)2|Y ⊂X et card(X) =k}. Démontrer queA est la réunion disjointe desAk.
2. Calculercard(Ak) pourk∈[[0, n]].
3. En déduire la valeur decard(A).
Correction : Il faut bien voir que les éléments deA sont des couples de parties de la forme (X, Y)∈ P(E)2.
1. Si (X, Y) ∈ A, on posek =card(X), et (X, Y) ∈Ak, d’où ∪nk=0Ak ⊂A. D’autre part,∀k ∈[[0, n]], Ak ⊂ A. Enfin, si i 6= j, montrons que Ai ∩Aj = ∅, par l’absurde, si (X, Y) ∈ Ai ∩Aj, alors card(X) =i=j.
2. Par choix successifs : choix de l’ensembleX : nkchoix, choix de l’ensemble Y (une foisX choisi) 2k. Au final : nk2k choix.
3. Par somme, on acard(A) =Pnk=0 nk2k= 3n (Newton).
Exercice 12 Dénombrement des parties de [[1, n]] contenant deux entiers consécutifs
Étant donné n ∈N, on pose An = {X ∈ P([[1, n]])|∃i∈ [[1, n−1]] vérifiant i∈ X et (i+ 1) ∈ X}, et on noteBn le complémentaire deAn dansP([[1, n]]).
Pour tout n∈N, l’ensemble An est l’ensemble des parties de [[1, n]] contenant (au moins) deux entiers consécutifs et l’ensembleBn, l’ensemble des parties ne contenant pas deux entiers consécutifs.
1. Donner trois éléments deA6, puis quatre éléments de B10.
2. Démontrer que, pour tout n ∈ N, les ensembles An et Bn sont finis. On pose, pour n ∈ N an = Card(An) et bn = Card(Bn). Expliciter les ensembles A0, A1, A2, B0, B1 et B2. En déduire les valeurs dea0,a1,a2,b0,b1 etb2.
3. Soitn∈N, en considérant les ensemblesH={X∈Bn+2|(n+ 2)∈X}, etK ={X ∈Bn+2|(n+ 2)∈/ X}, trouver une relation entrebn+2,bn+1 et bn.
4. Donner une relation entrean+2,an+1 etan. 5. Calculeran pour n∈N.
6. Trouver un entier naturel n0 tel que, pour tout n >n0, la proportion dans P([[1, n]]) des parties de [[1, n]] contenant deux entiers consécutifs est inférieure ou égale à 80%.