akbn−k. Commea etbsont quelconques, on a bien démontré :
∀(a, b)∈R2, ∀n∈N, (a+b)n= Xn k=0
n k
!
akbn−k.
Remarque: Il est important de voir que l’on a aussi : Pnk=0 nkan−kbk (en échangeant a et b). On peut donc «mettre le k» sur le aou sur le b. On choisira donc systématiquement la forme qui permet de faciliter les calculs.
Cas particulier, en remplaçant bpar−b, on a : (a−b)n =
Xn k=0
n k
!
ak(−1)n−kbn−k= Xn k=0
n k
!
an−k(−1)kbk
qui est une autre formule à connaître : pour développer (a−b)n, on procède comme (a+b)n sauf que l’on alterne les signes.
IV Nombres réels
Le but de cette partie est de définir qui est l’ensemble naturel de travail en analyse.
⋆ Intervalles
Définition 27. Une partie (non vide) I de R est un intervalle de R si :
∀(x, y)∈I2, ∀z∈R, x < z < y ⇒z∈I.
Ainsi, un intervalle est une partie de R« sans trou » : quelque soit les deux pointsx ety deI que l’on choisit, on peut aller de x ày en restant dansI.
Exemple : Les parties R, R+, [0,1], ]0,1] etc. sont des intervalles, pasR∗, ni ]0,1[∪[2,3].
La notion d’intervalles est importante dès que l’on manipule : – le théorème des valeurs intermédiaires,
– le fait qu’une fonction dont la dérivée est nulle est constante, – les primitives.
⋆ Propriété de la borne supérieure
Définition 28 (majoré/minoré/borné). Soit E un sous-ensemble de R. On dit que E est majoré (dans R), si :
∃M ∈R,∀x∈E, x6M.
On dit dans ce cas que M est un majorant(dans R) de l’ensemble E.
De même, on dit que E est minorési
∃m∈R,∀x∈E, x>m.
m est alors un minorant.
Si l’ensemble E est dit borné, si il est majoré et minoré. Ceci est équivalent à
∃M ∈R,∀x∈E,|x|6M
Remarque: Être minoré et majoré est équivalent à (∗)∃M ∈R,∀x∈E,|x|6M, en effet : – (∗) implique d’être minoré par−M et majoré par M.
– si on est minoré par m et majoré par M, en prenant T = max(|M|,|m|), on a∀x∈E,|x|6T. Exemple: {x|x2 62} est majoré, par exemple par 3, puisque∀x, x2 62⇒x63, mais aussi par 4, 5 ou 10. Cela montre qu’il n’y pas qu’un majorant, d’où l’idée de choisir le meilleur, i.e. le plus petit.
Définition 29. On dit qu’un sous-ensemble E de R admet une borne supérieure dans R, si il existe M ∈R, tel que
– ∀x∈E, x6M,i.e. M est un majorant,
– ∀ǫ >0, ∃x∈E, M −ǫ < x, i.e.M est le plus petit des majorants
Le réel M est appelé la borne supérieure deE. Elle est unique et on la note supx∈E. Remarque:
– Une borne supérieur est toujours un majorant,
– La deuxième partie signifie : dès qu’on se donne un petit ǫ >0, une précision donc, M−ǫn’est pas un majorant (sinon ce seraitM−ǫla borne supérieure), donc on peut trouver un élément deE entre M−ǫet M.
Unicité. Supposons par l’absurde que M et M′ soient deux bornes supérieures, avec M 6= M′. Quitte à échanger les noms, on peut supposerM < M′, on va choisir une précision qui permets de séparerM etM′, par exemple :ǫ= M′−2M.
CommeM′ est un majorant, on obtient On a alors :∃x∈E, tel que :M′−ǫ < x. Ce qui donne : M′−M′−M
2 <x M+M′
2 <x et commeM < M′ cela donne :M < x Contradiction avec M est un majorant.
Définition 30. Si supx∈E est un élément de E, on l’appelle l’élément maximal, et on le note maxx∈E. On définit de même la borne inférieure, comme le plus grand des minorants, notée infx∈E, etminx∈E
si c’est un élément de E.
Remarque:
– Un ensemble fini (i.e. avec un nombre fini d’éléments) est toujours borné et a toujours un élément maximal et minimal.
– Pour une famille finie de réels (xi)i∈I, on pose :
maxi∈I (xi) = max{xi|i∈I} min
i∈I(xi) = min{xi|i∈I} Pour une partie infinie (même bornée), ces valeurs n’existent pas nécessairement.
Pour deux réels (a, b), on note max(a, b) le plus grand, et min(a, b) le plus petit.
– Une partie X de R admet un maximum si et seulement si X est borné et X contient sa borne supérieure (sup(X)∈X).
– Toute partie non vide deN admet un minimum, pas forcément un maximum.
C’est ici que l’on voit la différence entre RetQ:
– Si on utilise les réels, l’ensemble : {x∈R|x262} est majoré et admets une borne supérieur, ici √ 2 – Si l’on ne considère que des rationnels, alors {x ∈ Q|x2 6 2} est majoré, mais sa borne supérieur
√2 n’est pas élément deQ. Ainsi, dans Qcertains ensembles majorés n’ont pas de borne supérieure rationnelle.
⋆ Définition précise de l’ensemble des réels
Définition 31. On appelle ensemble des nombres réels, noté R, un ensemble qui contient Q et vérifie de plus les propriétés :
– Qest densedans R,
– tout ensemble majoré de Rpossède une borne supérieure dans R.
Ces deux propriétés sont les axiomes de construction de l’ensemble des réels.
Ainsi, R contient √
2, comme la borne supérieure de {x|x2 6 2}, et π comme par exemple la borne supérieure de {x|x 6 4 et cos(x) > 0}. On verra que la deuxième propriété permet de montrer par exemple que toute suite croissante et majorée converge, théorème fondamental de l’analyse, que l’on le verra lors du chapitre sur les suites réelles.
La définition de la densité est :
Définition 32. Q est dense dans R signifie (toutes ces propositions sont équivalentes) : – entre deux éléments de R, il y a toujours un élément de Q,i.e.
∀(x, y)∈R2, avec x<y,∃z∈Q, x < z < y.
– tout nombre réel x peut-être approché à une précision arbitraire par un élément de Q, i.e.
∀x∈R, ∀ǫ >0,∃y∈Q,|x−y|6ǫ – tout nombre réel x∈R est limite d’une suite de rationnels, i.e.
∀x∈R, ∃(un) suite réelle, telle que
∀n∈N, un∈Q limn∞un=x
Parmi les suites de rationnels qui convergent vers le nombrex, il y a la suite d’approximation décimale par excès(resp celle par défaut), qui ont en plus la propriété d’être croissante (resp. décroissante). Par exemple pourπ :
u0 =3 v0 =4
u1 =3.1 v1 =3.2
u2 =3.14 v2 =3.14
u3 =3.141 v3 =3.142
u4 =3.1415 v4 =3.1416, etc.
la suite (un) est croissante et converge vers π, tandis que la suitevn est décroissante et converge aussi vers π.
Ainsi, lorsqu’on utilise une suite de rationnel qui converge vers x, on peut toujours supposer cette suite croissante ou décroissante.
Cette propriété de Qest souvent utilisé dans des énoncés utilisant la continuité, en particulier dans le cas d’équation fonctionnelle.
Voici un exemple :
Exemple: si on considère une fonction continue f tel que ∀x ∈ Q, f(x) = 0. On a alors : ∀x ∈ R, f(x) = 0.
En effet, si x∈R, on peut trouver une suiteun∈Q, tel queun→x, on a alors : f(x) = lim
n→+∞f(un) par continuité, or∀n∈N, f(un) = 0, ainsif(x) = 0.