BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ = Mots clés :
Manipulation du signe somme. Manipulation du signe produit. Somme télescopique. Somme double.
somme triangle. Sommes usuelles.
Savoir-faire :
– Simplifier une somme télescopique.
– Changement de variables simples dans une somme.
– Inverser l’ordre de sommation dans une somme double.
– Inverser l’ordre de sommation dans une somme triangle.
⋆ Notation somme
La notation somme correspond à additionner une liste de nombres : si (ak)k=1...n est une liste de n éléments (réels, entiers, complexes, etc.), on note :
Xn k=1
ak=a1+a2+. . . an= X
k=1...n
ak = X
k∈[[1,n]]
ak Le termeak est appeléterme général de la somme.
Une autre manière de voir est :
Définition 33. Soit(an)n∈Nune suite de nombre réels. On construit alors la suite(Sn)n∈Npar récurrence : S0 =a0 et ∀n∈N, Sn+1=Sn+an+1.
On note alors pour n∈N, Sn= Xn k=0
ak
On peut aussi appliquer cette définition au cas d’une suite (an)n=0...N finie de réels.
Dans le cas d’une suite (an)n=1...N de réels qui commence à1, on utilise la même relation de récurrence avec S0 = 0, ce qui revient à considérer quea0 = 0.
La relation Sn+1 =Sn+an indique que pour une proposition qui fait intervenir le symbole Σ, on doit toujours penser à la récurrence ! .
Remarque: Une somme du type Xn k=p
ak avec p > n ne contient pas de terme. Par convention cette somme est alors nulle.
Cette notation s’étend naturellement à tout ensemble fini E. Par exemple, si on veut faire la somme des termes pairs :u0, u2, . . . ,. On a la notation :
X
k∈[[0,n]], k pair
uk =u0+u2+. . . jusqu’à nou n−1 selon la parité den.
On peut aussi écrire :
⌊n2⌋ X
l=0
u2k mais aucune autre écriture n’est possible.
Contre-exemple : on n’écrit pas : Xn 2p=0
ak. On a deux choix :
– soit on somme pour une variable appartenant à un ensemble.
Exemple : X
k∈[[0,n]], k pair
ak, ou X
p tels que062p6n
a2p . C’est la notation : X
k∈E
ak, oùE est un ensemble fini, – soit on indique comment on parcourt cet ensemble.
Exemple :
Il est alors sous-entendu, que la variable est augmentée de 1 à chaque fois.
⋆ Manipulation La variable est doncmuette.
– Lorsqu’on manipule les sommes, il est important de garder en tête quel est le premier terme, le dernier termeet le nombre de termes.
La somme
– tandis qu’une somme de 1 àn contientntermes.
En cas de doute, il faut revenir à la définition avec. . ., et/ou utiliser des valeurs de npetites.
– L’ordre dans lequel on fait la somme n’intervient pas. On peut par exemple sommer en partant de la fin :
Il peut donc être intéressant d’organiser les termes d’une certaine manière.
– On peut aussi sommer tous les termes pairs puis tous les termes impairs. Par exemple : X2n
– Lorsqu’une formule faisant intervenir des sommes est vraie pour toute valeur d’une variable n, on n’oubliera pas que l’on peut l’utiliser en remplaçantnparn−1,n+ 1 etc. Par exemple de
∀n∈N,
Attention :on remplace nparn+ 1 partout. Par exemple, de la relation : – Si le premier terme est nul, on peut l’enlever de la somme :
Xn
– Une somme de somme peut s’écrire comme deux sommes : Xn
– On peut factoriser dans une somme : Xn
Attention :on ne peut factoriser par λque parce que λne dépend pas dek.
– Si ∀k∈ [[1, n]]ak = a i.e.ak ne dépend pas de k, on a : Xn
k=1
a=na, puisque cela revient à ajouter n fois la valeura.
Précisément, c’est le nombre de terme qui intervient. Ainsi : Xn
k=0
a= (n+ 1)a En particulier, il faut faire attention aux noms des indices :
Xn k=1
aj =naj, puisque la somme se fait surj et non sur k.
⋆ Changement de variable dans une somme
Faire un changement de variable dans une somme revient à organiser les termes de manière différentes.
Cela simplifie parfois le calcul.
Pour faire un changement de variable dans une somme
n1
X
k=n0
ak, il faut :
– exprimer la nouvelle variable k′ en fonction de l’ancienne k et n (on écrit on note : k′ = . . .), puis exprimer l’ancienne variablek en fonction de la nouvellek′ etn(idem).
– trouver les bornes n′0 et n′1, telles que, à un k ∈ [[n0, n1]] correspond un et un seul k′ ∈ [[n′0, n′1]] et réciproquement,
– faire le changement de variable dansak.
Les deux principaux changements de variables qu’il faut savoir faire sont : Inverser l’ordre
⋆ Somme télescopique
Les sommes télescopiques sont des sommes où les termes se simplifient deux à deux, autrement dit : un terme sur deux s’annule.
Si on veut calculer : Sn= est muette, et que l’on peut par conséquence revenir à une somme surk) :
Sn = les termes pourk allant de 2 àns’annulant.
La démonstration avec . . . est à connaître, mais il vaut mieux rédiger avec le changement de variables.
On peut aussi faire une récurrence (ce qui revient à manipuler les . . . avec rigueur).
Application 1 Soit (uk) une liste d’éléments deC, calculez : Xn
k=0
(−1)k(uk+uk+1).
⋆ Somme avec double indices
Si on a un tableau à nlignes etm colonnes de réels, soit n×méléments on peut on peut considérer la somme de tous ces termes :
X
16p6n 16q6m
up,q, qui est la somme des éléments du tableau
Cette somme peut être obtenue en sommant d’abord sur les lignes, puis sur les colonnes, ou l’inverse.
Le but est évidement de pouvoir «séparer » up,q par exemple en une partie qui dépend dep et une partie qui ne dépend pas dep, que l’on pourra sortir de la somme.
Exemple: On veut calculer Une autre manière de faire le calcul est :
X
Application 2 Finir le calcul.
En inversant l’ordre de sommation, on obtient deux expressions différentes de la même quantité. Ce qui permets d’obtenir des résultats.
⋆ Somme triangle
On peut aussi considérer une liste de réels up,q définie pour 1 6 p 6 q 6 n i.e. un « triangle » de nombres. Et la somme sur cette liste :
X
16p6q6n
up,q.
Il faut imaginer que l’on fait une somme sur un «demi-tableau» du type :
De même, on peut sommer sur les lignes puis sur les colonnes ou l’inverse :
X
Plutôt que de retenir par cœur ces formules, il est plus simple de dessiner un tableau contenant une croix lorsqu’un terme existe. On retrouve alors facilement les bornes. Il est important de noter aussi que p6q ce qui se retrouve sur toutes les formules.
Une technique différentes : Une autre technique revient à se ramener à une somme double sur sur n×néléments complétée par des zéros.
En effet en cas de doute, on peut écrire : X des sommes doublesi.e. de compléter le triangle en un tableau en ajoutant des 0.
Exemple: On veut calculer : Xn
Il s’agit d’une somme triangle : on somme sur l’ensemble des couples (i, j) de [[1, n]]2 tels quei>j,i.e.
la sous-diagonale.
Si on travaille par colonne, c’est-à-dire que l’on calcule Xn on ne peut s’en sortir, parce qu’àj fixé, on ne sait pas faire la somme
Xn i=j
1 i. Au contraire, si on travaille par ligne, la situation s’éclaire :
Xn
Exemple: Voici un exemple à connaître faisant appel à la notion d’espérance : E(X) = P(X= 1) + 2P(X = 2) + 3P(X = 3) +. . . nP(X=n)
Ou de manière rigoureuse :
La notation produit est la même :
Yn k=1
ak=a1a2. . . an. Cela permet par exemple de définir la factorielle.
De la même manière, on a une définition par récurrence :
Définition 34. Pour une suite (ak)k∈N de réel, on définit la suite (Pn), par : Proposition 9. On a :
Yn
On a aussi les changements de variable et les produit télescopiques. Enfin, comme que pour les somme, on a :
⋆ Calcul d’une somme et d’un produit en Python Pour calculer Sn= – on utilise une boucle forsur la variable k, et
– on utilise l’opération S=S+...pour ajouter le terme an.
"""entrée: n entier, sortie: P valeur de n!"""
P = 1
⋆ Lien somme et somme double
Le produit de deux sommes est une somme double : Xn
Puisque pour faire le produit des deux sommes, on fait le produit d’un termeai par un termebj ceci pour tous les choix de (i, j) possibles. On retrouve très facilement ce résultat avec un tableau.
En particulier :
Somme des entiers (des termes d’une suite arithmétique) Explicitement au programme :
∀n∈N, Xn k=1
k= n(n+ 1) 2
Somme des carrés des entiers Explicitement au programme :
∀n∈N, Xn k=1
k2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6
Somme des cubes des entiers Hors programme, à redémontrer à chaque exercice. Il est important de l’avoir vue une fois :
∀n∈N, Xn k=1
k2 =
n(n+ 1) 2
2
Somme des termes d’une suite géométrique Explicitement au programme (dansR, dansCet même pour les matrices) :
∀q ∈C\ {1},
Xn k=0
qk= premier terme×1−raisonnbr de termes
1−raison = 1−qn+1 1−q Pour le casq = 1, c’est simplement : Pnk=0qk=Pnk=01 = (n+ 1).
Newton Explicitement au programme (dans R, dansCet même pour les matrices) :
∀x∈C, (1 +x)n= Xn k=0
n k
! xk