III Suites récurrentes linéaires d’ordre 2
Théorème 71. Résolution dans C
Dans le cas d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2, avec b6= 0, on a :
– Si P a deux racines dans C notées q1 et q2, alors il existe α et β complexes uniques tels que :
∀n∈N, un=αq1n+βqn2,
– Si P a une seule racine dans C notée q, alors il existe α et β complexes uniques tels que : ∀n ∈ N, un= (α+βn)qn.
Les paramètres α etβ se calculent en regardant le système d’équations obtenu lorsque n= 0 et n= 1.
Remarque: Intuitivement, siaetb sont fixés, une suiteun est définies paru0 etu1. On a donc deux
“degré de liberté”. On retrouve bien ces deux paramètresαetβ. Cette idée se transformera en démonstration dans le cours de deuxième année sur les espaces vectoriels généraux.
Démonstration. cas de deux racines distinctesDéjà l’hypothèseb6= 0 implique que niq1 niq2 ne sont nuls.
L’unicité se démontre en remarquant que le système qui correspond au cas n= 0 et n= 1 :
Commençons l’analyse : en reprenant le système ci-dessus, on voit qu’il existe (α, β) qui conviennent pour n= 0 et n= 1 :
Ainsi, si (α, β) conviennent, alors leurs valeurs sont données ci-dessus.
Pour la synthèse, vérifions par récurrence double surnque cette valeur convient. On pose doncP(n) : un=αq1n+βq2n. L’analyse permet d’affirmer que P(0) et P(1) est vraie.
L’analyse se fait en regardant les deux premiers termes, i.e.le même système :
L’existence se démontre aussi par récurrence double sur n, l’initialisation a été faite dans l’analyse.
Pour l’hérédité :
un+2 = aun+1+bun
= αqn(aq+b) +βqn(n(aq+b) +aq)
= αqn+2+βqn(nq2+ 2q2)
= (α+ (n+ 2)β)qn+2
⋆ Résolution dans R
Maintenant si u0 etu1 sont réels, ainsi quea etb, une récurrence double immédiate montre que ∀n∈ N, un∈R.
On doit donc pouvoir exprimer un en fonction de n, sous la forme d’une suite de réel.
Si P a deux racines distinctes dans R, les mêmes calculs que ci-dessus sont valables. De même, siP a une racine double. La difficulté est donc lorsqueP n’a pas de racine dans R.
Notons déjà que P a alors deux racines complexes conjuguées,q etq. De plus, la formule ci-dessus est toujours exacte.
Autrement dit, il existe α etβ complexes uniques tels que :
∀n∈N, un
|{z}∈R
=αqn+βqn
| {z }
∈C
,
avec q6= 0 (puisqueb6= 0).
Montrons déjà que α etβ sont conjugués. On sait qu’ils sont solution de :
α+β =u0 αq+βq =u1 En faisant (L2)−q(L1), on obtient :
α= u1−qu0 q−q , et en faisant (L2)−q(L1), on obtient :
β = u1−qu0 q−q =α.
Rem : q6=q, car q /∈R, donc les calculs sont bien licites.
Maintenant, si on note
q=ρ(cos(θ) +isin(θ)), on a
un = αqn+βqn
= αρneinθ+βρne−inθ
= ρnα(cos(nθ) +isin(nθ)) +β(cos(nθ)−isin(nθ))
= ρn(α+β) cos(nθ) +i(α−β) sin(nθ)
= ρn(α+α) cos(nθ) +i(α−α) sin(nθ)
= ρn2Re(α) cos(nθ)−2Im(α) sin(nθ). D’où le théorème :
Théorème 72. Soient (a, b) ∈ R, avec b 6= 0. (un) une suite récurrente linéaire d’ordre 2, de polynôme caractéristique P, avec u0, u1, a, etb réels, on a :
– Si P a deux racines réelles distinctes, notées q1 et q2, alors il existe α et β réels uniques tels que :
∀n∈N, un=αq1n+βq2n,
– Si P a une racine double, notéeq alors il existe α etβ uniques tels que :
∀n∈N, un= (α+βn)qn.
– Si P n’a pas de racine, en notant ρeiθ une des racines complexes, il existe α et β uniques, tels que :
∀n∈N, un=ρn(αcos(nθ) +βsin(nθ)).
Les paramètres α etβ se calculent en regardant le système d’équations obtenu lorsque n= 0 et n= 1.
Remarque: Si on connaîtu1 etu2 au lieu deu0 etu1, on procède de la même manière : on détermine α etβ comme solution du système pourn= 1 etn= 2.
⋆ Exemples
Exemple: Soit la suite :
Exemple: Soit la suite :
Exemple: Soit la suite :
Mais en fait il est clair queun et une suite réelle, qui s’écrira donc (dans R) : un=αcos(n2π
Exemple: Soit la suite :
L’équation caractéristique associée est :X2−3X−4 = (X+ 1)(X−4).
Ainsi (un) s’écritun=α(−1)n+β4n On détermineα etβ :
u1=−α+ 4β = 3
u2=α+ 16β = 17. soit
α= 1, β= 1 Ce qui donne∀n∈N, un= (−1)n+ 4n.
Feuille d’exercices (6) Analyse 1 : Suites usuelles
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ =
⋆ Récurrence et variantes 2
Exercice 1 Montrer que :
∀n∈N∗, par la formule de récurrence double :
F0 = 1 F1 = 1 ∀n∈N, Fn+2=Fn+1+Fn. Montrer que∀n∈N,Fn=Sn. En déduire l’expression de Sn en fonction de n.
correction : récurrence double
Exercice 3 Montrer que pour tout entier natureln>1, il existek∈Netq∈Ntels que :n= 2k(2q+1).
Ce qui signifie que tout n>1 s’écrit comme une puissance de 2 multiplié par un nombre impair.
On utilisera la propriété suivante :
P(n) : ∀p∈[[1, n]],∃k∈N,∃q∈N, p= 2k(2q+ 1).
on démontrera queP(n) est vraie pour toutnen utilisant la récurrence.
⋆ Suite arithmético-géométrique
Exercice 4 Soit la suite arithmético-géométrique
u0= 1224
un+1 = 0.5un+ 100.
Expliciter le terme général de la suite.
Exercice 5 Soient α et β deux réels strictement positifs. Expliciter le terme général de la suite définie
par arithmético-géométrique. (attention au cas oùβ = 1, etc.).
⋆ Suite récurrentes linéaires d’ordre 2 Exercice 6 On définit la suite de Fibonacci par :
1. Déterminer Fn en fonction den, (on écrira Fn en fonction de φet de 1φ).
2. Déterminer la limite de FFn+1
n .
3. Montrer que pour tout entier naturel n, Xn k=0
Fk=Fn+2−1
4. Montrer que∀n∈N∗, Fn+1Fn−1−Fn2 = (−1)n,
5. Écrire deux fonctions Python donnant Fn en fonction de n en utilisant la formule de récurrence.
La première fonction utilisant une liste dans laquelle sont stockées les valeurs successives de Fn, la deuxième n’utilisant que deux variables réelles.
Correction :
1. Suites récurrentes d’ordre 2 donc :
Fn= 1
3. Il faut voir que cela n’est pas évident parce que dans la parenthèse la limite est +∞. Il s’agit donc de montrer que la limite se rapproche d’un 2kπ.
Par récurrence double : ∀n∈N, Fn ∈N. D’autre part, on a :
4. On peut faire une récurrence ou une manipulation de somme (en écrivantFk=Fk+2−Fk+1on obtient une télescopique).
5. Récurrence simple.
Exercice 7 Soit une suite réelle d’ordre 2, telle que un+2 = un+1 −un. Montrer que la suite est 6 périodique.Correction : cours.
⋆ Étude de suites
Exercice 8 On considère la suite (xn)n∈Ndéfinie parx0= 1 et xn+1 =xn+ 1
xn
1. Montrer que la suite (xn) est bien définie.
2. Montrer que pour toutx∈N∗,x2n−x2n−1>2. En déduire que pour tout entier naturelxn>√ 2n+ 1 3. Montrer que pour tout entier naturel n,
xn61 + Xn
k=1
√ 1 2k−1 4. Montrer que pour tout entier k>2,
√ 1
2k−1 6√
2k−1−√ 2k−3 5. En déduire que pour tout entiern>0,
√2n+ 16xn6√
2n−1 + 1 Correction :
1. Essentiellement il s’agit de démontrer par récurrence queun>0.
2. il suffit de remarquer quex2n=x2n−1+ 2 +x21 n−1
>x2n−1+ 2, d’après la question précédente.
Pour en déduire la relation, il suffit de faire une somme télescopique surx2n. 3. On déduit une majoration deun+1−un6 √ 1
2n−1, puis somme télescopique.
4. simple calcul après mise sur le même dénominateur.
5. Somme télescopique à droite.
Exercice 9 On considère les suites (un)n∈Net (vn)n∈N définies par : u0 = 2, v0= 1
3 et∀n∈N
( un+1 = un+ 3vn
vn+1 = 2un+ 2vn
1. Exprimerun+2 en fonction deun+1,un etvn. En déduire queun+2= 3un+1+ 4un, puis exprimerun
en fonction den,
2. En déduirevn en fonction den.
Correction :
1. un+2 =un+1+ 6un+ 6vn, soitun+2 = 3un+1+ 4un. On déduit : un= (−1)n+ 4n. 2. vn= 23(−1)n+1+ 4n.
Exercice 10 Soit la suite (un)n∈N, définie par u0 = 2 et la relation : (R) : un+1 =un+n+ 1 1. Trouver une suitevn=an2+bn+c qui vérifie (R)
2. Quelles sont toutes les suites qui vérifient (R) ? 3. Exprimer un en fonction den.
Exercice 11 Soit la suite (un)n définie paru0 =−1 et la relation (R) : un+1 = 2un+n+ 1
1. Trouver une suite vn = bn+c qui satisfait la relation (R). Quelles sont toutes les suites (un) qui satisfont la relation (R) ?
2. Calculerun en fonction den.