⋆ Rappels
Sip, etq ∈N, on note [[p, q]] l’ensemble des entiers naturels compris entrepetq,i.e.[[p, q]] = [p, q]∩N).
Attention : les notations ]|p, q|[, ou [|1+∞|[ ne sont pas acceptées.
La factorielle den est définie par
n! =n×(n−1)×(n−2)× · · · ×1 =
ainsi que la relation de Pascal :
∀n∈N, ∀p∈[[0, n]], n+ 1
qui permet de démontrer le binôme de Newton :
∀(a, b)∈C, (a+b)n= NB : il est utile de revoir les technique de calculs de somme pour les dénombrements.
⋆ Définition précise du cardinal d’un ensemble
Définition 58. Soit E un ensemble, on dit qu’il est fini si il existe p∈N tel que E est en bijection avec [[1, p]].
On admet qu’un tel p est alors unique, c’est le cardinalde l’ensemble E, que l’on note : Card(E) =p
La notion de cardinal corresponds à l’idée intuitive du nombre d’éléments d’un ensemble.
Par convention, on pose Card(∅) = 0. Enfin, si E n’est pas fini on dit qu’il est infini.
Remarque:
– on utilise aussi #E, mais la notation au programme est card.
– On dit qu’une bijection de E dans [[1, p]] est une numérotation, puisque cela permet de numéroter les éléments deE sous la formeE ={e1, . . . , ep}.
– Dénombrerun ensemble c’est donner son cardinal (ou dire qu’il est infini).
– Cette définition est théorique : on ne construit quasiment jamais la bijection. À la place, on décrit un processus de construction de l’ensemble E permettant de numéroter les éléments. Ce processus doit construireune et une seule fois chaque éléments.
– Dénombrer c’est compter les éléments d’un ensemble, cela n’a rien à voir avec le hasard. Cela signifie que dans un énoncé du type « on tire des cartes dans un jeu, déterminer le nombre de tirage tel que .... », on peut remplacer cet énoncé par « on choisit des cartes dans un jeu, déterminer le nombre de tirage tel que .... ». Le fait de connaître les cartes que l’on tire ne change pas le nombre de tirages possibles.
On verra au prochain chapitre le lien entre les dénombrements et les probabilités.
– En pratique on n’utilise jamais cette définition qui est théorique, mais le théorème fondamental cité après.
Exemple: N,Z, et Qsont infini, tandis que l’ensemble des lettres de l’alphabet {A,B,C, . . .,Z} est de cardinal 26. Cette définition permet de montrer queCard([[p, q]]) =q−p+ 1. En considérant la bijection φ:
φ:
( [[p, q]] → [[1, q−p+ 1]]
k 7−→ k−p+ 1 .
⋆ Théorème fondamental
Proposition 43. Soit E et F deux ensembles finis, alorsE et F ont même cardinal, si et seulement si il existe une bijection φde E versF (on dit que E et F sont en bijection).
Démonstration. La preuve est assez simple, et repose essentiellement sur le fait que la composée de bijections est une bijection.
SiE etF ont même cardinal, noté n, alors il existe une bijectionφde E vers [[1, n]], et une bijectionψ de F vers [[1, n]]. En considérantφ◦ψ−1, on obtient une bijection deE versF.
D’un autre côté, si une telle bijection f de E vers F existe, comme F est fini on sait qu’il existen∈N et une bijection φde F vers [[1, n]]. Onf ◦φ est alors une bijection deE vers [[1, n]].
Ceci est la première technique pour dénombrer : établir une bijection entre l’ensemble que l’on cherche à dénombrer et un ensemble dont on connaît le cardinal dans le cours.
Cette bijection est rarement écrite explicitement. On se contente de décrire un procédé qui transforme les éléments de F en éléments de E. On veillera à bien vérifier qu’un élément dans l’ensemble de départ correspond bien à un élément et un seul dans l’ensemble d’arrivée, i.e. qu’on a bien établi une bijection entre les ensembles.
C’est le point de modélisation : on doit faire le lien entre la théorie du cours (par exemple : le nombre de parties d’un ensemble), et l’ensemble que l’on cherche à dénombrer qui est décrit dans le langage courant.
Exemple:
Exemple 1 : modélisation d’un ensemble comme une partie d’un ensemble
Supposons que l’on fait des tirages dans une urne avec 3 noirs et 2 blanches sans remise. On veut calculer le nombre de tirages possibles,i.e.dénombrer l’ensemble Ω des tirages possibles. On identifie un tirage avec la place des blanches, dont une partie de 2 éléments de [[1,5]].
À chaque tirage corresponds une partie (les deux places des boules blanches), à chaque partie corresponds un tirage (on sait quel tirage ont donné une boucle blanche, les autres sont noirs).
Ainsi, Ω est en bijection avec les parties à 2 éléments de [[1,5]], ensemble que l’on verra être de cardinal 5
2
! .
Exemple 2 : mise en bijection des ensembles Supposons que l’on tire des lettres dans une urne contenant 26 jetons avec les 26 lettres. On fait 26 tirages sans remises,i.e.on épuise les jetons.
On note E1 l’ensemble des tirages qui commence par une voyelle. On le reverra, mais on a card(E1) = 6×25!
En effet, on fait des choix successifs : – 6 choix pour la première lettre, – puis 25 choix pour la deuxième, – puis 24, etc.
On expliquera ce résultat plus tard dans ce chapitre, ici on se contente de l’intuition. D’autre part la rédaction ci-dessus est un peu incorrect, du fait du « etc. ».
Maintenant si l’on veut dénombrer l’ensemble E2 des tirages dont la deuxième lettre est une voyelle.
si on procède de même, alors ce n’est pas simple : il faut considérer le cas où l’on tire une consonne en premier, puis une voyelle, etc. C’est faisable, mais alors comment dénombrer E17 qui est l’ensemble des tirages dont la 17ème lettre est une voyelle ?
En fait il y a plus simple : on peut mettre en bijection les tirages de E17 avec les tirages de E1. Pour cela, il suffit d’utiliser l’application qui renverse les tirages 17 et les tirages 1. Cette application est une bijection de E17 dansE1. Ainsi, card(E17) = 6×25!.
Autre rédaction possible, toujours avec des choix successifs : – 6 choix pour la 17ème lettre,
– puis 25! choix pour les autres.
On voit ici une idée importante :
les dénombrements ne suivent pas nécessairement l’ordre chronologique.
Exemple 3 : ensemble des suites finies strictement croissante Supposons que l’on veuille dénombrer l’ensemble :
E =n(i1, i2, i3)∈[[1,6]]ki1 < i2< i3o, qui est l’ensemble des tirages de trois jets de dés, strictement croissante.
On voit que cet ensemble Epeut être mis en bijection avec l’ensemble des parties à 3 éléments distincts de [[1,6]].
En effet, si i, j, k est une telle partie, en notant i1 = min({i, j, k}), puis i2 = min ({i, j, k} \i1), et i3= max({i, j, k}), i.e.en les ordonnant par ordre croissant, on peut associer à la partie {i, j, k} le triplet (i1, i2, i3), qui vérifie bien i1 < i2 < i3. Réciproquement au triplet (i1, i2, i3), on peut toujours associer la partie{i1, i2, i3} qui est une partie à 3 éléments distincts de [[1,6]].
Ainsi, on déduit que le cardinal deE est 6 3 .
Pour la rédaction, on se contentera d’indiquer qu’à chaque partie à 3 éléments de [[1,6]], il existe une et une seule manière de les ordonner par ordre croissant.
On ne peut pas généraliser l’exemple précédent au cas de suites croissantes au sens larges, puisqu’il peut y avoir des éléments égaux.
Exemple: Contre-exemple 4 : Application non injective Pour illustrer les pièges dans les dénom-brements : supposons que l’on veuille dénombrer l’ensemble E constitué des tirages de 2 cartes parmi 32 contenant au moins un roi.
Un raisonnement faux consiste à écrire le procédé de construction sous la forme : – choix du roi : 4 choix,
– choix de l’autre carte : 31 choix.
En effet, avec ce processus de construction de l’ensemble, on compte deux fois le tirage {RP,RC} : – une fois avec le choix du roi de coeur du cœur à la première étape, puis le roi de pique la seconde
étape,
– une fois le contraire.
Il faut donc veiller à ne pas compter deux fois le même éléments (principe d’injectivité de la numérota-tion).
Un bon raisonnement consiste à raisonner sur le complémentaire, ou de compter les tirages avec exac-tementun roi, puis exactement deux rois.