BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
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Le but de cette fiche est de résumer les méthodes permettant de résoudre une équation du type : (E) : f(x) = 0,
où f est une fonction réelle d’une variable réelle.
La première étape est de déterminer le domaine de définition de l’équation, qui sera le domaine de définitionDf de la fonction f.
Éventuellement, l’énoncé peut préciser un domaine plus petit, sous la formeRésoudre(E)sur l’intervalle I, l’ensemble de définition est alors Df ∩I. Si aucun intervalle n’est précisé, il est sous-entendu que l’on cherche les solutions sur Df.
Une solutionde l’équation (E) est une valeurx∈ Df, qui vérifie f(x) = 0.
Résoudre l’équation, c’est déterminer une description simple de l’ensembleS des solutions. Ainsi : [x∈ Df etf(x) = 0]⇐⇒x∈ S.
Pour une résolution d’équation, on donnera toujours en conclusion l’ensemble solution.
Attention : Une équation peut n’avoir aucune solution !
Deux équations sontéquivalentes, si elles ont le même ensemble de définition et le même ensemble de solution. On peut alors utiliser le symbole⇐⇒qui a bien un sens.
La difficulté est
– de ne pas oublier de solutions,
– d’être assuré que l’on a bien obtenu des solutions.
Il y a deux grandes méthodes de démonstration :
Par équivalence On raisonne en utilisant toujours des équations équivalentes.
Double implication On raisonne par condition nécessaire et condition suffisante.
La méthode par équivalence est plus rapide, plus élégante, mais facilement source d’erreurs.
Attention : on doit bien vérifier (et montrer au correcteur) que chaque équation est équivalente.
Une technique est de diminuer l’ensemble dans lequel on cherche les solutions : plutôt qu’utiliser l’en-semble de définition deDf, on remarque que l’on peut chercher les solutions dans un ensemble plus petit.
Sur ce dernier ensemble, on peut simplifier plus facilement l’équation en une équation équivalente.
La méthode par double implication est plus longue et laborieuse, mais plus sûre :
– On considère xsolution et on essaie de voir tout ce que l’on sait sur x dans le but de déterminer sa valeur. On obtient ainsi un ensembleE de valeurs candidatesà être solutions de l’équation. On a S ⊂E etE est généralement constitué de quelques valeurs.
– Dans un deuxième temps seulement, on vérifie que ces valeurs sont bien solutions. Notons en particulier que, pour quexsoit solution, il faut quex∈ Df, c’est une condition nécessaire, mais ce n’est pas une condition suffisante.
On peut soit faire le calcul, soit reprendre les calculs précédents pour déterminer si l’on a ou non équivalence à chaque ligne
On peut donc comparer cela à une analyse-synthèse.
Il est très souvent plus facile de faire la double implication, surtout si l’équation à résoudre est compliquée.
Il est aussi important de commencer la résolution de l’équation en se demandant si on ne connaît pas une solution dite solution évidente. On pourra essayer, selon les cas, des petits entiers : 0,1,-1,2, et -2, ou des valeurs particulières (e,π).
Pièges classiques On a : a=b⇒a2 =b2,mais la réciproque n’est vraie que si l’on a une indication sur le signe, puisque :|a|=|b| ⇐⇒a2=b2.
On a : x=y ⇒sin(x) = sin(y), mais la réciproque n’est vrai que sur certains intervalles.
D’une manière générale, dans le cas d’une équation trigonométrique, le plus simple est de dessiner le cercle.
Enfin, attention aux fonctions qui ne sont pas définies partout, comme les logarithmes, les racines, ou d’une manière générale, les fractions rationnelles.
Par contre, on garde l’équivalence en utilisant :
– les résultats classiques comme les solutions de ax2+bx+c= 0, – toutes les simplifications par le calcul,
– Il arrive aussi que l’on utilise une inconnue auxilliaire, en posant par exemple y =x2, il s’agit alors juste d’un changement d’inconnue. La conclusion ne doit plus faire apparaître cette inconnue
Inéquations Les inéquations sont des équations du type :
(I) : f(x)>0, ou f(x)>0.
Elles se résolvent de la même manière.
Équations qui dépendent d’un paramètres Dernier point, on rencontre des équations (Em) qui dépendent d’un paramètre m, soit de la fonctionfm, soit de l’ensemble sur lequel on résout l’équation.
On donnera alors l’ensemble des solutions en fonction du paramètre m, noté Em. Il faudra peut-être distinguer plusieurs cas pour ce paramètre.
Exemple: Si on considère l’équation d’inconnuex et de paramètrem : (Em) : x2 =m. On a : – si m >0 : Sm =n√
m,√
−mo, – si m= 0 : S0 =n0o,
– si m <0 : Sm=∅.
mais on ne doit pas écrire une solution du type S=n√ m,√
−m, m>0o.
Le paramètre ne doit par intervenir comme une solution.
Autre type d’équations On peut aussi parler d’équations dont les solutions sont des fonctions (exemple les équations différentielles), des suites, etc. Par exemple, déterminer l’ensemble des suites telles que :
∀n∈N, un+2 =un+1+ 3un+n, il s’agit alors de donner une autre écriture de cet ensemble.
Exemple 1
(E1) sin2x−sinx+ 1 4 = 0.
On voit clairement que l’équation est définie pour toutx∈R. Puis :
(on peut éventuellement utiliser une inconnue auxiliaire : X = sin(x), mais cela n’est qu’une commodité d’écriture).
Ici on a pu procéder par équivalence, puisqu’on peut bien passer d’une équation à une autre.
Exemple 2
Réciproquement, ces deux valeurs sont bien dans l’ensemble de définition, mais seul 7 est solution mais pas 2. D’où S2 ={7}.
On voit ici que l’on a perdu l’équivalence lorsque l’on a élevé les deux membres de l’équation au carré.
Voici le même exercice avec équivalence :
L’équation est définie sur Df = [−2,+∞[, mais on constate que si x est solution,x−4 >0. On peut
x>4 car les deux membres sont positifs !
⇐⇒
On a ∆ = 21, d’oùδ =√
On a donc deux valeurs candidates. Réciproquement, il n’est pas facile de vérifier sans calculette si ces valeurs conviennent. Il est clair que ces deux valeurs vérifient : (x−1)2 =x+4, mais pas (E3). L’équivalence à été perdue au moment de l’élévation au carré.
Notons tout d’abordx= 3+√221.
Déjà x>0, donc en particulierx+ 4>0 etx est bien dans l’ensemble de définition. Ensuite, x= 1 + 1 +√
De la même manière, on peut choisir de raisonner par équivalence L’équation est définie sur Df = [−4,+∞[, mais on constate qu’il ne peut y avoir de solutions six−1<0. On cherche donc des solutions
x>1 car les deux membres sont positifs
⇐⇒
Déjà, on remarque que x= 1 est solution.
D’autre part, soitx >1, alorsx+4>5, d’où√
x−1+√
x+ 4>√
5, en particulierxn’est pas solution.
Conclusion, S4={1}.
Exemple 5
(E5) √
2x−3−√
x+ 2<0.
L’inéquation est définie si 2x−3>0 et x+ 2>0,i.e.x> 32. Dans ce cas, on a √2x−3 +√
x+ 2>0, et donc on peut multiplier l’inégalité par cette quantité : (E5) ⇐⇒ 2x−3−(x+ 2)<0
⇐⇒ x−5<0
⇐⇒ x <5 AinsiS =h32,5h.