On appelle fonction réelle de la variable réelle, une fonction f : Df → R, où Df ⊂ R. Deux fonctions sont égales, si elles ont même ensemble de départ, d’arrivée, et même valeur en tout point x.
⋆ Graphe d’une fonction
Le graphe d’une fonction est l’ensemble des points du plan : G=n(x, f(x))x∈ Df
o.
Lorsque l’on demande le tracé de l’allure d’une courbe, il faut faire apparaître le maximum d’informa-tion : les tangentes horizontales, les asymptotes, les axes de symétries, les points particuliers etc.
Remarque: Pour une fonction réelle de la variable réelle, une droite horizontale peut couper la courbe représentativeCf en plusieurs points, tandis qu’une droite verticale coupe la courbe en un point et un seul.
⋆ Opérations algébriques
Définition 49. Si f et g sont deux fonctions réelle définie sur le même ensemble de définition, et λ∈R, on peut définir :
– λf, comme la fonction x∈ Df 7−→λf(x),
– f+g, comme la fonction x∈ Df 7−→f(x) +g(x), – f g, comme la fonction x∈ Df 7−→f(x)g(x).
Un résultat classique est que la somme, le produit de fonction continue/dérivable est continue dérivable.
REM : attention le produit n’est pasintègre : on peut avoir f g= 0 avec f 6= 0 et g6= 0.
⋆ Parité, périodicité
Définition 50. Soit f :Df →R, on dit quef est paire si : – Df est symétrique par rapport à0,
– ∀x∈ Df, f(x) =f(−x).
Le graphe de f est alors symétrique par rapport à l’axe vertical.
On dit que f est impaire si :
– Df est symétrique par rapport à0, – ∀x∈ Df, f(x) =−f(−x).
Le graphe de f est alors symétrique par rapport à l’origine.
On dit que f est périodique de période T si :
– Df vérifie :∀x∈ Df, x+T ∈ Df, i.e. Df est invariant par translation de longueur T. – ∀x∈ Df, f(x) =f(x+T).
Le graphe de f est alors invariant par translation de longueur T. Remarque:
– Pour une fonction T-périodique, on a alors par récurrence immédiate :∀k∈Z,∀x∈ Df,f(x+kT) = f(x)
– la seule fonction paire et impaire est la fonction nulle.
– Un exercice classique d’analyse/synthèse consiste à montrer que toute fonction est somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
⋆ Fonctions majorées, minorées, bornées
Définition 51. On dit que la fonction f :D →Rest majoréesi ∃M ∈R,∀x∈ D, f(x)6M. Cela est équivalent à nf(x)x∈ Do est un sous-ensemble majoré deR.
Si f est majorée on note supDf ou supx∈Df(x) la borne supérieure de cet ensemble (qui existe car tout ensemble majoré de Radmet une borne supérieure).
On rappelle que supDf est caractérisé par :
∀x∈ D, f(x)6sup
D
f, et∀ǫ >0,∃x∈ D, sup
D
f −ǫ>f(x) De manière symétrique on définit :
Définition 52. On dit que la fonction f : D →R est minorée si ∃m ∈ D,∀x ∈ R, f(x) > m. On peut alors définir infDf comme la borne inférieure de l’ensemblenf(x)x∈ Do.
On dit que la fonction f :D →R est bornée si ∃M ∈ D,∀x∈R,|f(x)|6M, ce qui est équivalent à dire que la fonction est majorée et minorée.
⋆ Minimum et maximum
Définition 53. On dit que la fonction f admet un minimum sur D si :
∃α∈ D, ∀x∈ D, f(α)6f(x).
La fonction est alors évidement minorée par f(α) et de manière plus précise : f(α) = infx∈Df(x). On dit alors que la borne inférieure est atteinte (en α). Et on note alors minx∈Df(x) cette borne inférieure.
On note de même maxx∈Df(x) la borne supérieure lorsqu’elle est atteinte.
⋆ Monotonie
Enfin, on rappelle les définitions suivantes :
Définition 54. La fonction f estcroissante sur D si :
∀(x, y)∈ D2, x6y⇒f(x)6f(y).
Elle est strictement croissantesi :
∀(x, y)∈ D2, x < y ⇒f(x)< f(y).
On définit de même décroissante et strictement décroissante.
Enfin, on dit qu’une fonction f estmonotonesur Df si elle est croissante ou décroissante surDf. On utilise aussi strictement monotone.
Remarque:
– Il arrive parfois que le mot « strictement » soit primordial dans la rédaction.
– On utilise parfois la contraposé de la définition de la stricte croissance pour obtenir :
∀(x, y)∈ D2, f(x)>f(y)⇒x>y.
– C’est particulièrement le cas pour l’étude des suites implicites, définies par fn(un) = 0.
Par exemple, si la fonction fn est strictement croissante, et que l’on veut démontrer queun6un+1, on montrefn(un) = 06fn(un+1).
Le mot strictement est ici très important.
– Si la fonction est strictement croissante, alors elle est injective.
Démonstration. Supposons la fonctionf strictement croissante, et considéronsxetyavecx6=y, par exemplex < y, on a alorsf(x)< f(y), en particulierf(x)6=f(y). D’où le résultat.
Proposition 32. Pour une fonction f définie sur Df, à valeur dans R, on a : f strictement croissante sur Df
⇐⇒h∀(x, y)∈(Df)2, f(x)>f(y)⇔x>yi
Ainsi, une fonction strictement croissante est une fonction qui respecte l’ordre : les images et les antécédents sont toujours dans le même ordre.
Démonstration. On veut montrer une équivalence, donc on procède par double implication.
=⇒ Supposonsf strictement croissante sur Df. Soitx ety deux éléments de Df. On a alors :
⇒ Supposonsf(x) >f(y) et montrons quex >y. Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant x < y, alors comme f est strictement croissante, on a f(x)< f(y), en contradiction avec l’hypothèse f(x) >f(y). D’où x >y. NB : en fait cette partie est la contraposée de la définition de la stricte croissance.
⇐ Supposonsx>y, par croissance de la fonction f, on af(x)>f(y).
D’où l’équivalence qui est vraie pour toutx ety quelconque.
En conclusion, ∀(x, y)∈(Df)2, f(x)>f(y)⇔x>y
Ceci est vrai pourx ety quelconque vérifiant x < y. On a donc :
∀(x, y)∈(Df)2, x < y⇒f(x)< f(y).
On retrouve donc la définition d’une fonction strictement croissante.
⋆ Les fonctions trigonométriques réciproques Proposition 33. La fonction :
i.e. la restriction de la fonctionsin à l’intervalle
Définition 55. On appelle fonction arcsinus, la bijection réciproque de la fonction précédente. C’est donc la fonction définie sur [−1,1] par :
Attention : ce n’est pas la bijection réciproque de la fonction sinus (qui n’est pas injective), c’est la bijection réciproque de la restriction de la fonction sinus.
Proposition 34. Par définition, on a :
∀x∈
−π 2,π
2
,∀y∈[−1,1], sin(x) =y⇐⇒x= arcsin(y) Ce qui donne aussi :
∀x∈
−π 2,π
2
,arcsin(sin(x)) =x et
∀y ∈[−1,1], sin(arcsin(y) =y.
Remarque:
– Attention : la première relation a un sens si x /∈ −π2,π2, mais elle n’est pas vraie alors : par exemple, arcsin(sin(3π))) = arcsin(0) = 06= 3π.
– On obtient la courbe représentative de arccosinus en prenant la symétrie de la fonction cosinus par rapport à ∆ :y=x.
– Lorsque l’on travaille avec les fonction trigonométriques réciproques, le plus important est les inter-valles.
Tableau de valeurs : on « renverse » le tableau de valeur de la fonction cosinus.
y 0 12 √22 √23 1 arcsin(y) 0 π6 π4 π3 π2
Application 1 Soit x∈R, exprimer arcsin(sin(x)) en fonction dex.
0 1
−1
0 1
−1
Figure 4.1 – Représentation graphique Fonction sin et arcsin
Proposition 35. On admet que la fonction arccosinus est continue sur [−1,1], et dérivable sur ]−1,1[.
L’expression de la dérivée est hors-programme.
Proposition 36. La fonction arcsinus est impaire.
Démonstration. Déjà [−1,1] est symétrique par rapport à 0.
Soit x∈[−1,1], il faut montrer que arcsin(x) =−arcsin(−x).
Par définition, arcsin(x) est la solution de l’équation sin(t) = x d’inconnue t ∈ −π2,π2, tandis que arcsin(−x) est la solution de l’équation sin(t) =−x d’inconnuet∈−π2,π2.
Il y a donc deux choses à vérifier :
– que sin−arcsin(−x)=x,i.e.que −arcsin(−x) est aussi une solution de l’équation, – et que−arcsin(−x)∈−π2,π2,i.e.que c’est une solution dans le bon intervalle.
Pour la première partie, on a :
sin−arcsin(−x)=−sinarcsin(−x) imparité de la fonction sinus
=−(−x) =x car sin (arcsin(−x)) =−x.
Pour la deuxième partie : on sait que arcsin(−x)∈−π2,π2. Donc,−arcsin(−x)∈−π2,π2.
Ainsi, comme l’équation sin(t) = x admet une unique solution t vérifiant t ∈ −π2,π2, on en déduit : arcsin(x) =−arcsin(−x).
Puis comme xest quelconque, on en déduit l’imparité de la fonction arcsinus.
Remarque: Autre manière de voir. On a : sin−arcsin(−x)= sin(arcsin(x)), donc (par égalité de sinus) :
∃k∈Z, −arcsin(−x) = arcsin(x) + 2kπ, ou −arcsin(−x) =π−arcsin(x) + 2kπ, Comme,
−π
2 6−arcsin(−x)6π 2 et −π
2 6arcsin(x)6π 2 on en déduit −π
2 + 2kπ6arcsin(x) + 2kπ6π 2 + 2kπ La première relation n’est donc possible que sik= 0.
Pour la deuxième relation, on a :
−π
2 6−arcsin(−x)6π 2 et π
2 + 2kπ 6π−arcsin(x) + 2kπ 63π 2 + 2kπ Ainsi, cette relation est impossible.
Cette remarque montre le lien entre la non-unicité des équations trigonométriques (i.e.la non injectivité des fonctions trigonométriques) et les problèmes liés aux intervalles lorsque l’on manipule les fonctions trigonométriques réciproques.
Proposition 37. La fonction arcsinus est strictement croissante.
Démonstration. Rédaction 1 : Soitx ety deux éléments de [−1,1], on a alors : arcsin(x) et arcsin(x) sont éléments de
−π 2,π
2
la fonction sinus est strictement croissante sur −π 2,π
2
ainsi : arcsin(x)6arcsin(y)⇔sin(arcsin(x))6sin(arcsin(y))⇔x6y
On reconnaît la caractérisation des fonctions strictement croissante par équivalence.
Rédaction 2 : Soitxety deux éléments de [−1,1], avecx < y. Supposons par l’absurde que arcsin(x)>
arcsin(y), comme il s’agit de deux éléments de−π2,π2, on en déduit par croissance de la fonction sinus sur cette intervalle :
sin(arcsin(x))>sin(arcsin(y)) soitx>y, contradiction avec l’hypothèse x < y.
Remarque: En adaptant, on voit que si f est strictement croissante et bijective, alorsf−1 est aussi strictement croissante et bijective.
Proposition 38. La fonction :
[0, π] → [−1,1]
x 7−→ cos(x)
i.e. la restriction de la fonctioncos à l’intervalle [0, π] est bijective. On a donc :
∀y∈[−1,1], ∃!x∈[0, π], cos(x) =y.
Attention : la fonction cosinus n’est évidement pas bijective. C’est sa restriction qui est bijective.
Définition 56. On appelle fonction arccosinus, la bijection réciproque de la fonction précédente. C’est la fonction définie sur [−1,1] par :
arccos :
( [−1,1] → [0, π]
y 7−→ l’unique solution x de l’équation cos(x) =y avec x∈[0, π]
Proposition 39. Par définition, on a :
∀x∈[0, π],∀y∈[−1,1],cos(x) =y⇐⇒x= arccos(y) ce qui donne aussi :
∀x∈[0, π], arccos(cos(x)) =x et
∀y∈[−1,1], cos(arccos(y) =y.
Tableau de valeurs :
y −1 −√23 −√22 −12 0 12 √22 √23 1 arccos(y) π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
Proposition 40. On admet que la fonction arccosinus est continue sur [−1,1] et dérivable sur ]−1,1[.
L’expression de la dérivée est hors-programme. La fonction arccosinus est strictement décroissante. Elle est ni paire, ni impaire.
Application 2 Soit x∈R, donner l’expression de arccos(cos(x))
0 1 2 3
−1
0 1 2 3
−1
Figure 4.2 – Représentation graphique :Fonction cos et arccos
Un exercice classique et important : Montrer que∀x∈[−1,1], arccos(x) + arcsin(x) = π2. On fixex∈[−1,1], et on montre la relation : arccos(x) = π2 −arcsin(x). Par définition, arccos(x) est la solution de l’équation cos(t) =x d’inconnuet∈[0, π]. Il faut donc montrer que :
– π2 −arcsin(x) est une solution de l’équation, – π2 −arcsin(x) est un élément de [0, π].
Pour la première partie, on a : cos
π
2 −arcsin(x)
= sinarcsin(x) en utilisant cos π
2 −α
= sin(α)
=x.
D’où π2 −arcsin(x) est une des solutions de l’équation cos(t) =x.
Pour les intervalles, on a :
−π
2 6arcsin(x)6 π 2 donc 06π
2 −arcsin(x)6π
D’où π2 −arcsin(x) est LA solution de l’équation cos(t) = x sur l’intervalle [0, π]. On en déduit la relation.
Ici aussi on pourrait écrire :
cosπ
2 −arcsin(x)= cos(arccos(x)) d’où
∃k∈Z,π
2 −arcsin(x) = arccos(x) + 2kπ ou ,π
2 −arcsin(x) =−arccos(x) + 2kπ.
L’examen des intervalles assure que la seule possibilité est la première relation avec k= 0.
Proposition 41. La fonction :
−π2,π2 → R x 7−→ tan(x) i.e. la restriction de la fonctiontan à l’intervalle−π2,π2 est bijective.
Définition 57. On appelle fonction arctangente, la bijection réciproque de la fonction précédente. C’est donc la fonction définie sur Rpar :
arctan :
( R → −π2,π2
y 7−→ l’unique solution x de l’équation tan(x) =y avec x∈−π2,π2 Proposition 42. Par définition, on a :
∀x∈ ce qui donne aussi :
∀x∈
Figure 4.3 – Représentation graphique :Fonction tangente et arctangente Un exercice classique et important : Montrons que :
∀x >0, arctan(x) + arctan a deux choses à démontrer :
– π2 −arctan 1x est aussi solution de l’équation.
– π2 −arctan1xest aussi élément de−π2,π2. Pour la première partie :
tan
Pour la deuxième partie :
on a 1 Puis la relation puisque x est un réel strictement positif quelconque.
Cherchons de même un lien entre arctan(x) et arctan1x si x < 0. Soit x < 0 fixé, on a toujours la
Précisément, ils ne sont pas élément d’un ensemble sur lequel la fonction tangente est injective.
Il faut alors « enlever » π pour avoir les deux éléments dans le même ensemble.
Cela s’écrit : par périodicité de la fonction tangente c’est-à-dire tan
En particulier,−π2 −arctan 1x est élément de −π2,π2, ainsi que arctan(x).
On est donc sur un intervalle sur lequel la fonction tangente est injective, donc de la relation : tan−π2 −arctan1x= tan(arctan(x)), on déduit :
−π
2 −arctan 1
x
= arctan(x), ce qui s’écrit puisquexest quelconque :
∀x <0, arctan(x) + arctan 1
x
=−π 2.
Feuille d’exercices (4) Outils 5 : Vocabulaire des applications
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ =
Mots clés : Applications. Image directe d’une partie de l’ensemble de départ par une application.
Composition. Écriture d’une fonction comme une composée.
Injection, surjection. Bijection, application réciproque. Composée de bijection.
Fonctions de la variables réelles : opération algébriques, parité, périodicité, monotonie.
Fonctions majorées, minorées, bornées. Minimum et maximum.
Les fonctions trigonométriques réciproques.
Savoir-faire :
– Pour une fonction R→R, déterminer l’image directe d’un intervalle.
– Écrire une fonction réelle comme une composée pour montrer qu’elle est continue, dérivable sur un intervalle Df, et calculer la dérivée.
– Manipuler les notions d’image directe. Exemple : image directe d’une union, d’une intersection.
– Manipuler les définitions d’injections de surjection. Exemple : montrer que la composition d’injection est injective, etc.
– Dessiner les fonctions trigonométriques réciproques.
– Manipuler les fonctions trigonométriques réciproques.
– Exercices simples sur les fonctions trigonométriques réciproques. Exemples :
∀x >0, arctan(x) + arctan1 x
=π 2
∀x∈[−1,1], arcsin(x) + arccos(x) =π 2.
– Résolution d’équations avec des fonctions trigonométriques réciproques. Exemples : arctanx+ arctan(2x) = π
4, arcsinx= 2 arctanx.
⋆ Notion d’application
Exercice 1 Montrer que l’on définit une suiteαn
n∈N par la relation :
∀n∈N, αn∈]0,1[ etαnn−(1−αn)2 = 0.
Tableau de variation.
Exercice 2 Montrer que pour tout entier naturel n>3, on définitxn sans ambiguïté par les relations : xn∈[0, n] et fn(xn) = 0, où fn:x7−→xne−x−1. Tableau de variation.
Exercice 3 Montrer que l’on définit une suitexn
par les relations :
xn∈
−π
2 +nπ,π 2 +nπ
et tan(xn) =xn
Tableau de variation.
Exercice 4 Pour toutλ∈R+, on pose Pλ(x) =x3+λx−1. Montrer qu’il existe une fonctionu définie surR+ telle que∀λ∈R+,Pλ(u(λ)) = 0. Tableau de variation.
⋆ Image directe d’une partie de l’ensemble de départ
Exercice 5 SoientE et F deux ensembles, et f :E →F une application. On considèreA1 et A2 deux parties de E.
1. Montrer que :f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2) 2. Montrer quef(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2),
3. Trouver un cas où il n’y a pas d’égalité dans la relation précédente.
Il suffit d’utiliser les définitions. Pour le contre-exemple, utilisez une fonction non injective.
Exercice 6 Déterminer les images directes : 1. ln(R∗+).
2. ln([1, e]).
3. cos(]π4,3π4 ]).
Tableau de variation.
⋆ Composition
Exercice 7 Donner l’ensemble de définition de la fonction x 7−→ xx = exln(x). Cette fonction est-elle continue, dérivable ? Schéma de composition
Exercice 8 Donner l’ensemble de définition de la fonction x 7−→ arcsin1+x2x2
. Cette fonction est-elle continue ? (on admettra la continuité de la fonction arcsin sur [−1,1])
Cette fonction est-elle dérivable ? (on admettra la continuité de la fonction arcsin sur ]−1,1[) Schéma de composition
⋆ Injection, surjection, bijection
Exercice 9 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives ou bijectives ? f :
( Z → Z
x 7→ 2x g:
( R → R
x 7→ 2x h:
( Z → R
x 7→ 2x i:
( R → R x 7→ x2
j:
( R → R+
x 7→ x2 h:
( R+ → R+
x 7→ x2 g:
( R → R
x 7→ sup(x/10 + 4, x−30) (sup(x, y) est la plus grande valeur de x et dey).
Exercice 10 Soitf(x) = 2x+1x−2 etg(x) =x2.
1. Quels sont les ensembles de définition de f,g◦f, et f ◦g? 2. Calculerf ◦g(x) etg◦f(x),
3. Prouver que f est bijective sur un intervalle que l’on déterminera, et quef−1 =f. Exercice 11 Soientf : E →F etg: F →E deux applications telles quef◦g=IdF.
Montrer queg est injective et f est surjective.
Utilisez les définitions.
Exercice 12 Soientf : E →F etg: G→E deux applications, montrer que : – f,ginjectives ⇒f◦g injective,
– f,gsurjectives ⇒f◦g surjective, – f◦g injective ⇒ ginjective, – f◦g surjective⇒ f surjective.
Utilisez les définitions.
Calculer g◦f. La fonction f est-elle bijective ?
⋆ Fonctions trigonométriques réciproques
Exercice 14 Tracer les courbes suivantes après les avoir étudiées :
f(x) = arcsin(sin(x)), g(x) = arccos(cos(x)), h(x) = arctan(tan(x)).
Exercice 15 Montrer que :
∀x∈R,cos(arctanx) = 1
√1 +x2, ∀x∈R,sin(arctanx) = x
√1 +x2. Exercice 16 Résoudre dansRles équations suivantes :
arctanx+ arctan(2x) = π
4, arcsinx= 2 arctanx.
Correction : DéjàDf = [−1,1].
Soit x solution de arcsinx= 2 arctanx, on a alors :
x= sin(arcsin(x)) = sin(2 arctanx)
=2 sin(arctanx) cos(arctanx)
=2 x
On peut alors vérifier, puisque :
arcsin(0) = 0 et arctan(0) = 0 D’où ces trois valeurs sont bien solutions.
On peut aussi remarquer que pour x ∈ [−1,1], arcsin(x) ∈ −π2,π2 etarctan(x) ∈ −π4,π4 donc 2 arctan(x)∈−π2,π2. finalement,
∀x∈[−1,1],arcsinx= 2 arctanx⇔sin(arcsin(x)) = sin(2 arctan(x)).
Cela donne :
S =n0,1,−1o
Dénombrements
Avant de commencer : L’une des difficultés des probabilités est que l’on doit traduire les énoncés donnés «en langage courant » en «terme mathématique », c’est une étape demodélisation.
La rédaction est donc très importante dans un exercice de dénombrements.