⋆ Généralités
Définition 26. On appelleéquation différentielle linéaire à coefficient constant du premier ordre sur R, une équation différentielle qui s’écrit :
(E) y′′+ay′+by=c, où a,b et c sont des réels et y est la fonction inconnue.
On appelle solution de cette équation une fonction y, dérivable sur R et qui vérifie :
∀t∈R, y′′(t) +ay′(t) +by(t) =c Remarque:
– L’équation est toujours linéaire.
⋆ Résolution dans le cas homogène
Théorème 27 (Résolution de l’équation homogène du second ordre). On appelle équation homogène associée à (E), l’équation différentielle où le second membre est mis à zéro :
(H) y′′+ay′+by= 0, Pour résoudre (H), on regarde l’équation caractéristique :
(e) : r2+ar+b= 0.
et on calcule ∆ =a2−4b.
On a alors trois cas
– Si ∆>0, il y a deux racines r1 et r2, la solution générale de l’équation homogène est alors : x7→λ1er1x+λ2er2x, (λ1, λ2)∈R2.
– Si ∆ = 0, il y a une racine double r, la solution générale de l’équation homogène est alors : x7→(λ1+λ2x)erx, (λ1, λ2)∈R2.
– Si ∆<0, il y a deux racines réelles conjuguées r1 =α+iβ, et r2 =α−iβ la solution générale de l’équation homogène est alors :
x7→eαx(λ1cos(βx) +λ2sin(βx)),(λ1, λ2)∈R2.
Exemple: Soit (H1) : y′′−y′−2y= 0, on a alors : (e) : r2−r−2 = 0 a deux racines : −1 et 2. D’où la solution générale :
x7→λ1e−x+λ2e2x, (λ1, λ2)∈R2.
Soit (H2) : y′′+ 2y′+y= 0, on a alors : (e) : r2+ 2r+ 1 = 0 a une racine : 1 D’où la solution générale : x7→(λ1+λ2x)ex, (λ1, λ2)∈R2.
Soit (H3) : y′′+ 2y′+ 5y = 0, on a alors : (e) : r2+r+ 5 = 0 a deux racines complexes conjugués :
−1±2i. D’où la solution générale :
x7→e−x λ1cos(2x) +λ2sin(2x), (λ1, λ2)∈R2.
Exemple: Un exemple important et explicitement au programme : On considère l’oscillateur harmonique sans force extérieure :
(E) : y′′+ω2y= 0.
Son équation caractéristique est :r2+w2 = 0, i.e.r =±iw.
Les solutions sont donc les fonctions de la forme :
y :t7−→λcos(ωt) +µsin(ωt).
NB : on peut aussi écrire :
y:t7−→Asin(ωt+B), avec A l’amplitude etB la phase.
Application 1 Résoudre :
(E) : y′′−ω2y= 0.
⋆ Structure de l’ensemble des solutions On revient à l’équation avec second membre
(E) y′′+ay′+by=c, où a,b etcsont des réels et y est la fonction inconnue.
Proposition 32. L’équation E admet un solution particulière constante évidente : y0:t7−→ dc.
Remarque:
– comme pour le premier ordre, c’est souvent une position d’équilibre pour le système physique associé.
Exemple: L’équation de l’oscillateur harmonique soumis à une force gravitationnelle est : (E) : y′′+ω2y=g
La position d’équilibre est :
y0 :t7−→ g ω2.
Proposition 33. Si on connaît une solution particulière y0 de l’équation (E), alors les solutions de E sont :
S=y0+SH =ny0+yhyH ∈ SH
o. Démonstration. C’est encore une conséquence de la linéarité.
Remarque:
– On a donc la même méthode de résolution : – Résoudre (H),
– Trouver une solution particulière (par exemple une constante) – Conclure.
– Comme pour le premier ordre, lorsque l’on fixe une position y(0) et une vitesse y′(0) initiale, alors il y a unicité de la solution car il y a un unique choix possible pourλ1 etλ2.
Exemple: On veut résoudre l’équation de l’oscilateur harmonique : (E) : y′′+ω2y=g avec comme conditiony(0) = 0 ety′(0) = 1.
On sait que les solutions de l’équation homogène sont de la forme : y :t7−→λcos(ωt) +µsin(ωt).
Une solution particulière est la constante ωg2.
Les solutions sont donc les fonctions de la forme :
y:t7−→λcos(ωt) +µsin(ωt) + g ω2. On dérive :
∀t∈R, y′(t) =−ωλsin(ωt) +µωcos(ωt) On a alors les équations :
y(0) =0 =λ+ g ω2 y′(0) =1 =µω.
Ce qui donneµ= ω1, etλ=−ωg.
On obtient alors une unique solution au problème de Cauchy : y:t7−→ g
ω2 (1−cos(ωt)) + 1
ωsin(ωt).
Feuille d’exercices (2) Analyse (4) : Équations différentielles linéaires à coefficients constants
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ =
⋆ Calcul de primitives
Exercice 1 Déterminer une primitive de : x7−→ x
cos2x x7−→tanx
x7−→arctanx x7−→arcsinx
x7−→ln(1 +x2) x7−→sin(ln(x))
x7−→cos(ln(x)) x7−→xarctan(x)
x7−→x3sin 2x x7−→cosxex
⋆ Principe de superposition des solutions Exercice 2 On considère l’équation différentielle,
(E) : y′+ay=αf1+βf2
où f1 etf2 sont deux fonctions deRdans R,α etβ deux réels. Soit
– y1 une solution particulière de l’équation différentielle : (E1) : y′+ay=f1, – et y2 une solution particulière de l’équation différentielle : (E2) : y′+ay=f2. 1. Déterminer une solution particulière de l’équation (E).
2. Déterminer toutes les solutions de l’équation (E).
3. Donner un résultat similaire pour les équations du second ordre.
Cette méthode pour trouver une solution particulière est appelée principe de superposition des solutions, c’est une conséquence de la linéarité. Physiquement, elle se traduit par le fait que les sorties du système (les solutions de l’équation) dépendent linéairement des entrées du systèmes (les fonctions f1 et f2).
⋆ Exemples d’équations différentielles
Exercice 3 On note y(t) le nombre d’atomes de carbone 14 présents dans un échantillon de matière organique à l’instant t (évalué en années). La vitesse de désintégration de cet isotope radioactif du car-bone étant proportionnelle à la quantité présente dans l’échantillon, on considère que y satisfait l’équation différentielle :
(E) y′=−ky.
où kest la constante de désintégration du carbone 14.
1. Déterminer y(t) en fonction de t, k et du nombre N0 d’atomes de carbone 14 présents à l’instant t= 0.
2. On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps T au bout duquel la moitié des atomes de carbones se sont désintégrés. Déterminer la demi-vie du carbone 14.
3. Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres vivants. À la mort de ceux-ci, l’assimilation de cet élément cesse et le carbone 14 présent se désintègre. Des archéologues ont découvert des fragments d’os dont la teneur en carbone 14 est 70% de celle d’un fragment d’os actuel de même masse, pris comme témoin. Calculer l’âge de ces fragments.
Exercice 4 Un circuit électrique se compose en série d’une bobine d’inductance L et d’une résistance R, alimentées par un générateur de force électromotrice V. On note i(t) l’intensité du courant à l’instant t. On sait alors queivérifie l’équation différentielle
i′+R Li= V
L
Résoudre cette équation sachant que i(0) = 0. Représenter le graphe de i.
Exercice 5 Un circuit électrique se compose en série d’un condensateur de capacité C et d’une bo-bine d’inductance L, alimentés par un générateur de force électromotrice V. On note q(t) la charge du condensateur à l’instant t. On sait alors queq vérifie l’équation différentielle
q′′+ 1
LCq= V L
Résoudre cette équation sachant que q(0) = 0 etq′(0) = 0. Représenter le graphe de q.
Exercice 6 Résoudre les équations suivantes et préciser la solution telle quey(0) = 0 ety′(0) = 1 : y′′+ 8y′+ 15y= 0, y′′−2y′+ 5y= 0, y′′−2y′+y= 0.
⋆ Quelques équations avec un second membre non constant Exercice 7 Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle :
(E) : y′+y = cosx−x+ 2−2e−x 1. Résoudre l’équation homogène : (H) :y′+y = 0.
2. On considère l’équation (E1) : y′+y = cos(x). Chercher une solution particulière de (E1) sous la forme :x7−→αcos(x) +βsin(x), avec (α, β) deux réels à déterminer.
3. On considère l’équation (E2) : y′+y = −x+ 2. Chercher une solution particulière de (E2) sous la forme :x7−→αx+β, avec (α, β) deux réels à déterminer.
4. On considère l’équation (E2) : y′+y = −2e−x. Chercher une solution particulière de (E2) sous la forme :x7−→αxe−x, avec α un réel à déterminer.
5. Donner l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 8 Le but de cet exercice est de résoudre l’équation différentielle : (E) : y′′+y′−6y=e2x+e−x
1. Résoudre l’équation (H) :y′′+y′−6y= 0.
2. Soit l’équation (E1) :y′′+y′−6y=e2x. Cherche une solution particulière sous la forme :x7−→αxe2x avec α∈R.
3. Soit l’équation (E2) :y′′+y′−6y =e−x. Cherche une solution particulière sous la forme :x7−→αe−x avec α∈R.
4. Donner l’ensemble des solutions de (E).