BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ =
⋆ Construction du triangle de Pascal
On veut construire un tableau contenant les valeurs de coefficients binomiaux ji avec la propriété de Pascal qui indique que la valeur contenue dans la case (i, j) est égale à la somme de celle contenue dans la case (i−1, j) et de celle de la case (i−1, j−1).
def Pascal(N) :
"""
entrée: N = entier
sortie: tab = tableau de N+1xN+1 entiers
tab contient les coefficients binomiaux (i parmi j) pour i et j = 0 ... n en utilisant la propriété de Pascal
"""
tab = zeros((N+1,N+1), dtype = int) # crée un tableau de 0 for i in range(N+1) :
tab[i,0] = 1 #première colonne for j in range(1,N+1) :
#la case (i,j) est obtenue en faisant la somme des cases N et NO tab[i,j] = tab[i-1,j-1] + tab[i-1,j]
return(tab)
⋆ Déterminer les nombres premiers Pour construire la liste des nombres premiers :
– On commence par construire une liste de booléen noté listeBooltelle que :listeBool[i]=Truesi iest premier. Pour cela :
– On initialise les termes 0 et 1,
– 2 est premier : on enlève alors tous les multiples de 2, en posant listeBool[j]=Truepour toutes les valeurs de j qui s’écrivent j= 2kavec k >1.
– 3 est premier : on enlève alors tous les multiples de 3, etc.
– pour chaquei qui n’a pas été enlevé précédemment, alors on enlève les multiples dei.
– Dans une deuxième étape, on reconstruire la liste des nombres premiers pas concaténation.
def tablePremier(nFinal) :
"""
entrée: nFinal = entier
sortie: listePrem = liste d’entiers
construit la liste des entiers premiers <= nFinal
"""
#étape 1: on va construire une liste listeBool True/False
#avec listBool[i] = True si i est premier
listeBool =[True]*(nFinal+1) #on intialise avec que des True listeBool[0] = False # 0 n’est pas premier
listeBool[1] = False # 1 n’est pas premier for i in range(2,nFinal+1) :
#si i n’est pas premier, il n’y a rien à faire
if listeBool[i] :
#on efface tous les multiples de i:
for j in range(2*i,nFinal+1,i) : listeBool[j] = False
#étape 2: à partir de listeBool, on construit listePrem
#par concaténation listePrem = []
for i in range(nFinal+1) : if listeBool[i] :
listePrem += [ i ] return(listePrem)
Feuille d’exercices (2) Outils 2 : Nombres entiers et réels, outils 4 : méthodes de calcul
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC BY: $\ = Mots clés :
Résolution d’équations, d’inéquations.
Raisonnement par récurrence. Factorielle, binomiaux. Formule de Newton.
Partie entière. Valeur absolue. vocabulaire de l’arithmétique. Axiome de la borne supérieure.
Savoir-faire :
– Résolution d’équations par équivalence ou par « condition necessaire » « conditions suffisantes »
⋆ Équations
Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : E1 : 2e2x−ex−1 = 0.
E2 : x+ 1 =√ x+ 1.
E3 : x−1 =√ x+ 1
1. changement de variables : Y =ex.
2. utiliser la méthode du cours : solution candidate, vérification.
Exercice 2 On considère l’équation suivante :
3mx2−(m2+ 9)x+ 3m= 0
où mdésigne un paramètre réel. Donner les solutions sur Rde cette équation selon les valeurs dem.
Correction : Sim6= 0 c’est une équation du second degré, on a :
∆m= (m2+ 9)2−36m2 = (m2+ 6m+ 9)(m2−6m+ 9) = (m+ 3)2(m−3)2 = (m2−9)2 On voit donc que ∀m∈R∗,∆m>0, avec de plus ∆m est nul si m= 3 oum=−3.
De plus les solutions sont :
x1= (m2+ 9) +m2−9
6m = m
3 x2= (m2+ 9)−m2+ 9
6m = 3
m. Dans le casm= 3 ou m=−3 ces deux solutions sont confondues.
Dernier cas si m= 0, l’équation s’écrit : 9x= 0 soit x= 0.
Conclusion :
S0 ={0} ∀m∈R∗, Sm=nm 3, 3
m o
Exercice 3 Résoudre les équations
(1) : x2+ 2mx+ 1 = 0 (2) : ex+me−x−m−1 = 0, en fonction du paramètrem.
Correction : (1) est une équation du second degré dont le discriminant est ∆m = 4m2 −4 = 4(m−1)(m+ 1). Ainsi, sim∈]−1,1[ l’équation n’a pas de solution, sinon les solutions sont :
x1 = −2m+ 2p(m−1)(m+ 1)
2 =−m+q(m−1)(m+ 1)
x2 =−m−q(m−1)(m+ 1).
Sim= 1 ou −1 les deux solutions sont confondues.
(2) Soit x solution, alorsx est solution dee2x−(m+ 1)ex+m= 0. On pose alors : X=ex, et on voit queX est solution d’une équation de degré 2 :X2−(m+1)X+m= 0. Cette équation a pour discriminant :
∆ = (m+ 1)2−4m=m2−2m+ 1 = (m−1)2. Ainsi, on a les solutions (dans le cas oùm= 1 les deux solutions sont confondues).
X1 = (m+ 1) +m−1
2 =m X2 = (m+ 1)−m+ 1
2 = 1.
Il y a donc deux valeurs possibles pourX.
De plus, si m60, l’équation ex =m n’a pas de solution.
Ainsi,
– Si m >0, il y deux valeurs candidates à être solution : x1 = lnmetx2 = 0.
– Si m60, il n’y a qu’une valeur candidate :x2= 0.
Réciproquement, on voit que 0 et lnmest bien solution (si m >0). Ainsi : si m >0, Sm=n0,lnmo sim60, Sm =n0o. Dans le casm= 1 les deux solutions sont confondues.
⋆ Raisonnement par récurrence Exercice 4 Montrer :
∀n∈N, Xn k=0
k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6 ,
∀n∈N, Xn k=0
k3 =
n(n+ 1) 2
2
.
Exercice 5 Une suite un est dite géométrique de raison q si un+1 =qun. Montrer que dans ce cas : un=u0qn, et que siq 6= 1, on a :
n−1
X
k=0
uk=u01−qn 1−q .
Exercice 6 Une suite un est ditearithmétique de raisonr si un+1=un+r. Montrer que dans ce cas un=u0+nr, et que :
n−1
X
k=0
uk=nu0+rn(n−1) 2
Exercice 7 Soit f :N→N strictement croissante, montrer que∀n∈N, f(n)>n.
Correction : récurrence + il faut que f(n+ 1)∈Netf(n+ 1)> f(n)>n.
⋆ Partie entière, valeur absolue
Exercice 8 Soientx∈Ret la suite (un) définie par :∀n∈N,un= 1 n2
Xn k=1
⌊kx⌋. Déterminer la limite de la suite (un).
Exercice 9 Pour x∈R, on définit les parties positives et négatives dex par : x+ =max(0, x) et x−= max(−x,0).
Simplifier les expressions suivantes :
Exercice 11 Démontrer la propriété du cours : n
⋆ Manipulation du symbole somme Exercice 12 Soitn∈N∗, calculer Correction : permutez les sommes pour avoir
Xn 2. En déduire une expression explicite de :
un= 1. Démontrer cette formule par récurrence.
2. Démontrer cette formule par une somme téléscopique.
3. Dans les cas particuliersa= 1 et b=q, cette formule s’écrit :
c’est donc la somme des termes d’une suite géométrique qui est vraie d’après le cours. Expliquer comment utiliser cette formule que l’on sait vraie pour démontrer la formule de Bernouilli dans le cas général de deux réelsa, b.
⋆ Formule du binôme de Newton Exercice 16 Développer (a−b)5 Exercice 17 Développer (1 +√
3)4 et (1−√ 3)4. En déduire que A= (1 +√
3)4+ (1−√
3)4 est un entier.
Commentaires : exercice de cours.
Correction : Avec la formule de Newton (1 +√
Ainsi, A est un entier.
Exercice 18 Soitn∈N∗, démontrer que :
Exercice 19 Calculer en fonction den: Xn Correction : Pour les premières Newton. Pour la somme sur les pairs impairs, faire Sp +Si = 2n etSp−Si = 0. PourPnk=0k nk,dériver la formule de Newton en (1 +x)n. Dériver une seconde fois pour Pn
k=0k2 nk. Enfin prendrela ( !) primitive qui s’annule en 0 pour la dernière.
Exercice 20 Soientnetpdeux entiers naturels avec n>p. Déterminer Xp
⋆ Borne supérieure, maximum
Exercice 21 Montrer que la réunion de deux parties majorées deR est une partie majorée.
Exercice 22 SoitX etY deux parties bornées de R, montrer que :
sup(X∪Y)6max(supX,supY) sup(X∩Y)6min(supX,supY) inf(X∪Y)6min(infX,infY) inf(X∩Y)6max(infX,infY)
Exercice 23 SoitI un intervalle de Ravec I est borné. Montrer que I s’écrit sous la forme ]a, b[, [a, b[, ]a, b] ou [a, b], avec (a, b)∈R2.