⋆ Définitions
Définition 44. SoientE etF deux ensembles, on définit uneapplicationou fonctionde E dans F, un procédé quelconque qui associe à chaque élément x de E un unique élément de F.
On note f :E→F pour dire que f est une application de E dans F.
Les caractéristiques d’une fonction sont donc d’être définie sur unensemble de départ, ouensemble de définitionE, c’est-à-dire que tout élément dex a uneimagef(x), et que cette image est définie sans ambiguïté à partir dex. On appelleF l’ensemble d’arrivée.
Sif(x) =y, on dit quex est unantécédent dey (il peut en avoir plusieurs), tandis queyestl’image de x (il n’y en a qu’une).
Deux fonctions sont égales si elles ont les mêmes ensembles de départ, même ensemble d’arrivée, et même valeur en tout point (i.e.∀x∈E, f(x) =g(x)).
On note : f :
( E → F
x 7−→ f(x) ou moins rigoureusement :f :x∈E 7−→f(x)∈F À savoir sur les fonctions :
– Ne pas confondre cos(x) qui est un réel (défini sixa une valeur), etx7→cos(x) qui est une fonction.
De même, on ne confonds pas le réelun (définie pour une valeur dendonné), et la suite un
n∈N. – En particulier, un écriture comme (ln(1 + x))′ n’a pas de sens. À la limite on pourrait écrire :
(x7→ln(1 +x))′. En pratique, il faut réserver le ′ aux lettres.
– La variable x est muette : la fonction x 7−→f(x) est rigoureusement la même que la fonction y 7−→
f(y), on ne change de lettres dans les variables que pour pour rédiger plus clairement.
– L’identitéest la fonction qui a tout élement de E associe lui-même, on la note IdE, ou justeI.
– si y ∈ F, on peut définir la fonction constante x 7−→ y de E dans F, c’est à dire la fonction qui associey à tous les éléments de E. Par exemple, on définit la fonction nulle surRpar f :x7→0.
– si on regarde les fonctions : f :
( N → N n 7−→ n2 , g:
( Z → Z p 7−→ p2 , h:
( Z → N p 7−→ p2 , i:
( R → R x 7−→ x2 .
Rigoureusement, ces fonctions ne sont pas les mêmes (par exemple la première est injective, pas la deuxième).
– On appelle prolongement d’une fonction, la fonction obtenue en utilisant un ensemble de départ alors le prolongement par continuité def en 0 est la fonction
g:
Mais on peut penser faire d’autre prolongement (certes c’est moins intelligent) :
g:
– De la même manière, on appelle restriction d’une fonction, la fonction obtenue en utilisant un ensemble de départ plus petit
Par exemple pour la fonction
f :
Cela sert définir la fonction racine carré comme la bijection réciproque deg.
– Soitα∈R, on peut définir la fonction « évaluation en α», qui à un polynôme associe sa valeur enα f :
( R[X] −→ R P 7−→ P(α) ,
– Les ensembles EetF ne sont pas toujours des parties deR, mais peuvent être des produits euclidiens d’ensemble. On peut ainsi définir une fonction :
f :
( R2 −→ R3
(u, v) 7−→ (u+v, u−v,max(u, v)) , – On peut aussi faire plus compliqué et plus abstrait. Par exemple, la fonction :
E → R
un 7−→ limn∞un où E est l’ensemble des suites convergentes On peut aussi faire des fonctions à valeurs dans l’ensemble des fonctions. Par exemple :
R2 → fonctions de R2 dansR
u 7−→ fu définie par∀v∈R2, fu(v) =u·v Autre exemple :
Φ
( R → RRensemble des fonctions réelles de la variable réelle θ 7−→ Φθ(f) définie par∀x∈R,Φθ(f) =f(x+θ)
– Un exemple important est celui des fonctions indicatrices. Soit E un ensemble etA⊂E, on note alors 11A la fonction :
11A:
E → R
x 7−→
1 six∈A 0 sinon.
⋆ Exemples et contre-exemple
La partie important de la définition d’une fonction est qu’un élément de l’ensemble de départ a une et une seule image définie sans ambiguïté.
On ne peut donc pas définir des fonctions n’importe comment. Par exemple : si on note E l’ensemble des polynômes de degré exactement 3, on peut définir :
f :
( E −→ R
P 7−→ min{x∈R|P(x) = 0} ,
Cette fonction existe car un polynôme de degré exactement 3 a toujours 1, 2, ou 3 racines, on peut donc choisir la plus petite. Par contre, on ne peut pas définirf sur l’ensemble des polynômes de degré exactement 2, car certains n’ont pas de racines dansR, ni même sur l’ensemble des polynôme de degré inférieur ou égal à 3 qui ont des racines, à cause du polynôme nul qui a une infinité de racines. On ne peut pas non plus définir :
g:
( E −→ R
P 7−→ l’un desx∈R tel queP(x) = 0.
Car alors la fonction est mal définie (l’image d’un polynôme n’est pas définie sans ambiguïté).
Ainsi, lorsqu’une question est : «montrer que l’on définit une fonctionf par la relation ... » il faut montrer que l’image d’un élément x parf est bien définie sans ambiguïté.
⋆ Informatique
La notion de fonction est très importante en informatique, une fonction est une suite d’instruction permettant de calculer des valeurs (lessortiesde la fonctions) à partir de valeurs données (lesentrées de la fonction). La syntaxe est :
def nomFct(x1,x2,x3) :
"""
description des entrées / sorties de la fonction obligatoire dans les commentaires.
"""
suites d’instructions permettant de calculer les sorties en fonction des entrées.
...
return([z1,z2]) Par exemple :
def fctExemple(x,y) :
"""
entrée: x et y deux réels
sortie: lambda et mu réels, tels que lambda = max(x,y)
mu = 1/ x si x != 0, y sinon
exemple: [alpha,mu] = fctExemple(3.4 , 2.7)
"""
if x > y : lambda = x else :
lambda = y if x != 0 :
mu = 1 / x else :
mu = y
return([alpha,mu])
⋆ Image directe d’une partie de l’ensemble de départ
Définition 45 (Image directe d’un ensemble par une fonction). Soit f une fonction de E dans F, A un sous-ensemble de E.
On appelle image directe de A parf, notée f(A), le sous ensemble de F : f(A) =ny ∈F∃x∈A, f(x) =yo autement dit : f(A) =nf(x)x∈Ao
Remarque:
– La notation f(A) correspond à identifier f avec une fonction de P(E) dansP(F) :
f
P(E) → P(F)
A 7−→ f(A) avec f(A) =nf(x)x∈Ao⊂F – pour une partie Ade E et un élément x∈E,
x∈A⇒f(x)∈f(A).
La réciproque est fausse dans le cas général.
– Si on sait qu’un élément z deF vérifiez∈f(A), on sait quez s’écrit sous la formez=f(x) pour un certainx∈A.
– Pour montrer qu’un élément z deF vérifiez∈f(A), il faut construire (avec « on pose ») un élément xde A, tel quez=f(x).
– On appelle aussi ensemble imagede f, l’image directe de l’ensemble E entier, c’est-à-dire f(E).
– Pour les fonctions réelles de la variable réelle, c’est le théorème des valeurs intermédiaires (plus précisément le tableau de variations) qui donne l’image directe d’un ensemble.
Exemple:Soitf :R→R, avecf(x) =x2, alorsf([0,2]) = [0,4], ,f([−1,0]) = [0,1] ,f(]−1,1]) = [0,1]
⋆ Composition
Une autre opération sur les fonctions est de les composer : on les applique les unes à la suite des autres.
Définition 46. Soit f :E→F, et g:F →G, on définit la fonction composéeg◦f par : g◦f :
( E → G
x 7→ g◦f(x) =g(f(x)) . On applique donc f à x puis g au résultat.
On a alors le schéma :
E → F → G
x 7−→ f(x)
y 7−→ g(y)
x 7−→ g(f(x)) =g◦f(x).
Remarque:
– Bien entendu,f ◦g6=g◦f dans le cas général.
– Par contre, on voit que si f, g et h sont trois fonctions, telles que (f ◦g)◦h est bien défini. alors (f ◦g)◦h est défini et égal à f◦(g◦h).
En effet, six est un élément de l’ensemble de définition de h, on a :
((f◦g)◦h)(x) = (f ◦g)(h(x)) =f[g(h(x))] =f(g◦h(x)), et ces deux fonctions ont même ensemble de définition.
– Enfin, si on compose par l’identité, on ne change pas la fonction. Soit f :E →F, on a alors : f◦IdE =f et IdF ◦f =f
⋆ Exemple d’écriture d’une fonction comme une composée
On rappelle que la composée de fonctions continues est continue, idem pour la dérivabilité. Ainsi, écrire une fonction comme une composée de fonctions permet de démontrer qu’elle est continue, dérivable, etc.
Il faut absolument éviter les rédactions imprécises comme : «la fonctionf est continue comme somme, produit et composée de fonctions usuelles continues». Il faut préciser de quelle fonction on parle et sur quelle intervalle elles sont définies :
– Pour une somme, il suffit que les deux fonctions aient le même ensemble de départ,
– Pour une composée g◦f, il faut que l’ensemble image de f soit inclus dans l’ensemble de définition deg.
Par exemple, considérons la fonction
f :x7−→ 1 ln√
1 +x2−x
Pour montrer que cette fonction est continue, dérivable et donner l’ensembleDf, il faut l’écrire comme une composée.
On a pour la première partie :
R → [1,+∞[ → R x 7−→ 1 +x2
y 7−→ √y
x 7−→ √
1 +x2 ce qui montre quex7−→√
1 +x2 est bien définie, dérivable, etc. surR.
Pour une composition, on « aligne » les fonctions en les décalant. On précise bien les ensembles de départs et d’arrivée.
Pour composer avec le ln, on va s’intéresser au signe de√
1 +x2−xen fonction dex. Plus précisément, on cherche l’ensemble desx, tels que√
1 +x2−x >0. On peut utiliser l’expression conjuguée, ou simplement
par majoration :
∀x∈R,1 +x2> x2 p1 +x2>|x|
−p1 +x2< x <+p1 +x2 en particulier 0<p1 +x2−x.
On dispose donc de :
R → R+∗ x 7−→ √
1 +x2−x On peut alors faire la composition :
R → R∗+ → R
x 7−→ √
1 +x2−x
y 7−→ ln(y)
x 7−→ ln√
1 +x2−x La fonction :x7−→ln√
1 +x2−xest alors bien définie, continue et dérivable surRà valeur dans R. Il faut préciser l’ensemble d’arrivée pour pouvoir composer part7−→ 1t.
Cherchons x∈R, tel que ln√
1 +x2−x= 0 (pour un telx,f(x) ne serait pas défini). On a : lnp1 +x2−x= 0 doncp1 +x2−x= 1
doncp1 +x2= 1 +x donc 1 +x2= 1 + 2x+x2 doncx= 0
Réciproquement, il est clair quef(0) n’est pas défini.
Ainsi, ∀x∈R∗, ln√
1 +x2−x6= 0.
On peut donc restreindre la fonction précédente, pour écrire : R∗ 7−→ R∗
x 7−→ ln√
1 +x2−x Ce qui permet finalement de composer :
R∗ → R∗ → R
x 7−→ ln√
1 +x2−x
t 7−→ 1t
x 7−→ ln(√1+x1 2−x)
Ainsi, la fonctionf est définie sur R∗.
Ce raisonnement permet de plus de calculer la dériver. On rappelle le résultat suivant :
Proposition 29. La composée de fonctions dérivables est dérivable. Plus précisément, si f et g sont dérivables, alors on a :
f ◦g′ =f′◦g×g′
Démonstration. Sig:E→F et f :F →G, soitx0 ∈E, on écrit alors le taux d’accroissement : f(g(x))−f(g(x0))
x−x0 =f(g(x))−f(g(x0))
g(x)−g(x0) × g(x)−g(x0) x−x0
Pour le premier terme, lorsque l’on fait tendre x versx0, on a en posanty=g(x)−−−→x
→x0 g(x0) :
xlim→x0
f(g(x))−f(g(x0))
g(x)−g(x0) = lim
y→g(x0)
f(y)−f(g(x0)) y−g(x0)
=f′(g(x0)) par dérivabilité def en g(x0) Pour le deuxième terme :
xlim→x0
g(x)−g(x0)
x−x0 =g′(x0) par dérivabilité deg en x0. Donc la limite du taux d’accroissement existe et est égale à
xlim→x0
f(g(x))−f(g(x0))
x−x0 =f′(g(x0))×g′(x0)
Remarque:
– La démonstration n’est pas correcte puisque l’on divise par f(g(x))−f(g(x0))
g(x)−g(x0) qui pourrait être nul.
En effet, il peut y avoir une infinité de x arbitrairement proche de x0 tels que g(x) = g(x0). Ceci étant, sig(x) =g(x0) alors f(g(x))−f(g(x0)) = 0, donc dans l’égalité :
f(g(x))−f(g(x0))
x−x0 =f(g(x))−f(g(x0))
g(x)−g(x0) × g(x)−g(x0) x−x0 on peut remplacer le terme f(g(x))−f(g(x0))
g(x)−g(x0) parg′(x0). Bref, ce n’est qu’une difficulté théorique.
– Il est intéressant de conserver la formule « dans ce sens ». En effet, c’est plus simple lorsque l’on a plusieurs composées :
f◦g◦h′ =f′(g◦h)×g′(h)×h′
f◦g◦h◦i′ =f′(g◦h◦i)×g′(h◦i)×h′(i)×i′ Par exemple pour la fonction
f :x7−→ 1 ln√
1 +x2−x , cela donne :
∀x∈R∗, f′(x) = −1 hln√
1 +x2−xi2 × 1
√1 +x2−x × 1
2√
1 +x2 ×2x−1 On reconnaît :
– la dérivée de t7−→ 1t, appliquée à ln√
1 +x2−x, – puis la dérivée de y7−→ln(y), appliquée à√
1 +x2−x, – puis la somme de :
– la dérivée de y7−→√y, appliquée à 1 +x2, puis la dérivée dex7−→1 +x2, – la dérivée de x7→ −x.
⋆ Injection, surjection
Une fonction transforme un élément x de l’ensemble de départ E, en un élément f(x) de l’espace d’arrivée F (son image). Il est naturel de se demander si tous les éléments de F ont un antécédent, et si deux éléments peuvent avoir la même image.
Définition 47. Soit f :E→F, on dit que la fonction – f estinjective si on a :
∀(x, x′)∈E2, f(x) =f(x′) =⇒x=x′, autrement dit si les éléments de F ont au plus un antécédent.
– f estsurjective si on a :
∀y∈F,∃x∈E, f(x) =y, autrement dit si tout élément de F admet au moins un antécédent.
Notons qu’être injective peut s’écrire par contraposée :
∀(x, x′)∈E2, x6=x′ ⇒f(x)6=f(x′), et qu’être surjective signifie que f(E) =F.
Remarque:
– Pour démontrer qu’une fonctionf est surjective, on part donc d’un élémentyappartenant à l’ensemble d’arrivée et on construit (avec « on pose ») un antécédent x.
– Tandis que pour démontrer qu’une fonction f est injective, on a deux choix :
– on part de deux élémentsxetx′ appartenant à l’ensemble de départ, qui ont la même image et on démontre qu’ils sont égaux,
– ou (et c’est équivalent) on part de deux éléments xetx′ appartenant à l’ensemble de départ, dont on sait qu’ils sont différents et on démontre que leurs images sont différentes.
– L’injectivité est liée à l’unicité de solution pour l’équationy=f(x), la surjectivité est liée à l’existence de solution pour l’équationy=f(x).
– L’injectivité est liée à l’ensemble de départ de la fonction, la surjectivité à l’ensemble d’arrivée.
Exemple: Sif :x7−→ |x|, alors :
– si f :R→R, la fonction n’est ni injective ni surjective,
– si f :R→R+, la fonction n’est pas injective mais est surjective, – si f :R+→ R, la fonction est injective mais pas surjective, – si f :R+→ R+, la fonction est injective et surjective.
⋆ Bijection, application réciproque
SiE est un ensemble, la fonction identité sur cette ensemble est notéeIdE.
Définition 48. Soit f :E→F, on dit que f est bijective si il existe une fonctiong:F →E telle que : f◦g=IdF, et g◦f =IdE.
Dans ce cas, cette fonction est unique, on l’appelle fonction réciproque de f, et on la notef−1. De plus, on a f−1 −1=f.
Démonstration. Si deux fonctions g et g′ vérifient les relation alors déjà g et g′ ont même ensemble de départ et d’arrivée. Pour montrer que g = g′, il reste à vérifier que l’image de tout élément de F est le même pour les deux fonctions.
∀x∈F, g(x) =g◦f◦g′
| {z }
Id
(x) =g◦f
| {z }
Id
◦g′(x) =g′(x).
Donc les deux fonctions sont les mêmes, et donc la réciproque est unique.
Pour la deuxième partie, on a :
f ◦f−1 =Id, etf−1◦f =IdE, doncf est l’inverse de f−1.
Bien entendu il ne faut pas confondref−1 et f1.
Proposition 30. Soit f :E→F, f est bijective, si et seulement si f est injective et f est surjective.
Autrement dit, f est bijective, si tout élément def a un antécédent et un seul, ce qui s’écrit :
∀y∈F, ∃!x∈E, f(x) =y
Démonstration. Supposonsf inversible, montrons quef est injective. Soitx etx′ des éléments de E, tels quef(x) =f(x′), on a alors :
f−1(f(x)) =f−1(f(x′)) =x=x′.
Montrons ensuite que f est surjective : soit y∈F , on posex=f−1(y), alors f(x) =y.
Réciproquement, supposons f injective et surjective. Soit y ∈ F, y a alors un unique antécédent, on l’appelle g(y), c’est donc l’unique élément x de E tel que f(x) = y. On peut dire que g est la fonction F →E, qui a y associe l’unique solution de l’équation f(x) =y.
La fonction g est alors définie, puisquex existe et est unique.
Montrons que gest l’inverse de f.
Déjà, par construction f ◦g(y) =y. On a donc bienf◦g=Id.
Soit maintenantξ∈E, et considéronsz=g(f(ξ)), par définition c’est l’unique solution def(x) =f(ξ).
Orxest solution de cette équation, qui admet une solution unique, doncx=ξ, ce qui s’écrit :g(f(x)) =x.
On a doncg◦f =Id . Les deux relations montrent que g=f−1 et donc que f est bijective.
On voit donc que pour montrer qu’une fonction est bijective, on a deux possibilités : – construire une fonction inverse et montrer qu’on a les deux relations de la définition,
– ou montrer qu’elle est injective et surjective (ce qui évite de donner une représentation explicite de f−1).
Dans les deux cas, cela revient à étudier l’équationy=f(x) d’inconnuex et de paramètrey.
Remarque:
– Si l’énoncé demande, montrer que f est bijective et que f−1 = . . ., alors il suffit de vérifier que f◦f−1=Idet que f−1◦f =Id
– Si on part d’une fonction injective f :E →F, on peut définir une nouvelle fonction, ˆf :E → f(E), cette fonction est alors bijective, car injective et surjective. Il arrive ainsi que l’on change l’ensemble de départ ou d’arrivée d’une fonction pour «la rendre bijective», dans ce cas, on précisera bien de quelle fonction on parle en donnant les ensembles de départ et d’arrivée.
– Dans le cas d’une fonction deRdansR, la courbe représentative def et celle def−1sontsymétrique par rapport à la droite y=x. (faire dessin).
⋆ Composée de bijection
Enfin, on peut voir ce qui se passe lorsqu’on compose des applications bijectives et qu’on les inverse : Proposition 31. La composée de bijection est une bijection.
Plus précisément, soit f etg deux bijections deE dans E, alorsf◦g est une bijection avec(f◦g)−1 = g−1◦f−1.
Démonstration. Six∈E, on a :f ◦g(g−1◦f−1(x)) =f ◦g◦g−1(f−1(x)) =f(f−1(x)) =x