ECE 1 MATHEMATIQUES

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 2 - durée : 4h 1 décembre 2012

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Cours.

1. Donner la dénition d'une racine d'un polynôme.

2. Qu'est-ce qu'un système de Cramer ?

3. Enoncer le théorème des gendarmes pour les suites.

4. Donner la dénition d'une partition d'un ensemble.

5. Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble ?

Exercice I.

Créer un programme Turbopascal qui demande deux réels x et y à l'utilisateur, et calcule √ xy si c'est possible, ou renvoie un message d'erreur sinon.

Exercice II.

1. Calculer S =

8

X

k=1

k² 2 − 3

2^k

.

2. Créer un programme Turbopascal qui pourrait calculer lui-même S. (On rappelle que si x >0, alors x^k=e^kln(x).)

3. Sachant que l'appel à l'une des fonctions ln ou exp compte pour une opération, quelle est la complexité de ce programme ?

(On déterminera séparément le nombre d'opérations et d'aections.)

Exercice III.

Les questions sont indépendantes.

1. Soit E ={−1; 0; 1}. Détailler P(E).

2. Dans une classe de 45 élèves, deux options sont proposées. 36 élèves assistent à l'option A, et 23assistent à l'option B. Combien d'élèves ne suivent qu'une seule option ? Justier.

3. Déterminer [

n∈N^∗

1

n; 1 + 1 n

.

Exercice IV.

Soit (un)n∈N la suite dénie par un+1 = 3u²_n

2 + 4u_n et u0 >0. 1. a. Montrer que ∀n ∈N, u_n >0.

b. En déduire les variations de u.

c. La suite est-elle convergente ? Justier.

2. a. Montrer que ∀n ∈N, u_n+1 ≤ 3u_n 4 . b. En déduire que ∀n∈N, u_n≤

3 4

n

u₀.

3. En utilisant notamment les questions précédentes, déterminer alors la limite de la suite.

1/2

Exercice V.

On considère un exposant réela >1.

Soit (u_n)_n∈N la suite vériant ∀n∈N, u_n+1 =e.u^a_n, avec u₀ = 1. 1. Montrer que ∀n ∈N, un >0.

On introduit la suite auxiliairet dénie par ∀n∈N, tn = ln(un). 2. Vérier que ∀n ∈N, t_n+1 =at_n+ 1.

3. De quel type de suite est-ce le terme général ?

4. Déterminer l'expression de t_n en fonction de n et de a. 5. En déduire alors que ∀n ∈N, u_n =e^an−1a−1 .

6. Calculer alors la limite de la suite u.

Exercice VI.

Factoriser le polynôme P déni par P(x) =x⁴+ 3x³+ 2x²−x−1. (On pourra commencer par chercher s'il y a des racines évidentes.)

Exercice VII.

On considère le système suivant : (S)

λx+ 2y =−1

−3x+ (1−λ)y = 1

1. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel λ ce système est-il de Cramer ? Justier.

2. Résoudre ce système en fonction de λ.

(Le résultat devra être simplié au maximum.)

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