D 1900 Un X fixe

(1)

D 1900 Un X fixe

Solution proposée par Pierre Renfer

Les points K, L, M et U, V, W sont les points de contact des cercles inscrits avec les côtés.

On va utiliser les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).

Pour les longueurs des côtés, on note : aBC, bCA, cAB, dCP, eAP

1) Quelques rappels

Pour tout cercle, il existe des constantes u, v, w telles que son équation s'écrive : 0

) wz vy ux )(

z y x ( xy c zx b yz

a²  ²  ²      

Les points de contact R, S, T du cercle inscrit au triangle ABC avec ses côtés ont pour coordonnées barycentriques :

(2)

b - c a

c - b a 0 R



a - c b 0

c - b a S



0 a - c b

b - c a

T 



2) Coordonnées de quelques points

Le point P est barycentre de (B, -d) et (C, d+a).

D'après 1) :

Le point K est barycentre de (C, e+d-b) et (P, b+d-e).

Le point U est barycentre de (B, d+a+e-c) et (P, d+a+c-e).

Le point M est barycentre de (A, b+d-e) et (C, b+e-d).

Le point W est barycentre de (A, a+d+c-e) et (B, c+e-d-a).

Dans le repère (A,B,C), les points P, C et B ont les coordonnées barycentriques suivantes, de même somme a :

a d

d - 0 P

 a

0 0

C 0 a 0 B

On en déduit les coordonnées de K et W :

e) - d b d(2a b)

- d a(e e) - d a)(b (d

e) - d d(b - 0 K







 ou

e - d b 2a

d - b - e 0 K



e) - c a a)(d (d

d) - c - e a)(a (d c) - e a a(d e) - c a d(d - 0 U







 ou

e - c d a

d - c - e a 0 U



Les coordonnées de M et W sont :

d - e b 0

e - d b M



0

d - a - e c

e - c d a

W 



3) Equation des deux cercles

(3)

Soit Q un point de (BC), de coordonnées barycentriques : z y 0 Q

Pour un cercle tangent en Q à (BC), on va déterminer les constantes v et w de son équation.

On remplace dans l'équation du cercle les inconnues par les coordonnées de Q : 0

yz ) a w v ( wz vy

) wz vy )(

z y ( yz

a²     ² ²   ² 

C'est une équation du second degré en y, z, de discriminant nulle, puisque la droite (BC), d'équation x0 est tangente en Q au cercle.

Donc :



















y ) a w v ( wz 2

z ) a w v ( vy 2

2 2

ou



















y a w ) y z 2 ( yv

z a zw v ) z y 2 (

2 2

En résolvant le système, on trouve :

2

2 2

2

z y a y w

z y a z v













 





 





 





 



Par permutation circulaire, on trouve des résultats analogues si l'on impose un point de contact d'un cercle avec (CA) ou (BC).

En appliquant ces résultats aux points aux points de contact K et M, on trouve les constantes u, v, w pour l'équation du cercle (KLM) :

















 







 





 



4 ) e d b w (

4 ) e d b a 2 v (

4 ) d e b u (

2 2 2

En appliquant ces résultats aux points aux points de contact U et W, on trouve les constantes u', v', w' pour l'équation du cercle (UVW) :

















 







 





 



4 ) d c e a ' ( w

4 ) e c d a ' ( v

4 ) d a e c ' ( u

2 2 2

4) Equation de la droite (DE)

(4)

La droite (DE), axe radical des deux cercles a pour équation : 0

z ) ' w w ( y ) ' v v ( x ) ' u u

(      

C'est-à-dire : (bca2e2d)x(3abc2d2e)y(abc2e2d)z0 Ou encore : (bca)x(3abc)y(abc)z2(ed)(xyz)0

On obtient bien un point X dont les coordonnées x, y, z vérifie l'équation pour toute valeur de ed.

Il s'agit du point dont les coordonnées vérifient le système :

















0 z y x

z ) c b a ( y ) c b a 3 ( x ) a c b (

Les coordonnées de du point X sont :

c b a

a - c b

2a - X

