D1827. La saga des dichotomies (3` eme ´ episode) 1/ D´ emonstration statique
G est l’intersection de AE avec Γ0, donc diam´etralement oppos´e `a O sur Γ0. AF et AG sont perpendiculaires, tout comme leurs m´ediatrices∆1et ∆2. AGF\ =AJ F\ (surΓ0)
Γ3 circonscrit `a OME recoupe∆2 en R : RE est perpendiculaire `a OR, donc parall`ele `a FG.
ERM\ =EOM\ (surΓ3) etERM\ =GF M\
⇒F,O, M et G sont co-cycliques (cercle Γ4), donc
OGF\ = OM F\ ⇒JHA est parall`ele `a MO donc perpendiculaire `a BC, et G et J sont sym´etriques par rapport `a OM.
Dans l’inversion (O, Γ0), BC est l’inverse de Γ2 (cercle OBCD), et Γ4 est l’inverse de FG. M intersection de BC avecΓ4est l’inverse de D. Donc FG est confondue avec FD.
GF N\ =GAN\ (surΓ0)
GAN\ =EAM\ =EF M\ (surΓ1) EF M\ =IF J[ =IAJ[ (surΓ0)
⇒Les arcs GN et IJ sont ´egaux.
AJ G\ = π/2, donc G et J sont sym´etriques par rapport `a OM, et de mˆeme pour N et I.
1
K est d´efini comme la projection orthogonale de G sur BC.
AN G\ =π/2: K, G, N et M sont co-cycliques (cercle Γ5, diam`etre GM).
M GK\ =M N K\ =HJ M\
⇒K appartient `a FN.
L est l’intersection de FN et AJ. L’´egalit´e des arcs GN et IJ entraine : DF L\ = DAL\
F, A, D et L sont co-cycliques (cercleΓ6, diam`etre AD).
ALD\ = π/2: P est le milieu de l’hypot´enuse du triangle rectangle KHL, et donc aussi le milieu de MD.
2/ D´ emonstration dynamique
Pour A, E et F fixes, AQ et FQ sont en homographie; les intersections P et R avec OM le sont aussi.
Pour P fixe et 2 positions de A surΓ, consid´erons les 2 homographies (P →R1) et (P →R2) :
•Si P est en G,R1etR2 sont confondus avec P.
•Mˆeme chose en G’, sym´etrique de G par rapport `a O.
•Si P est en M’, sym´etrique de M par rapport `a O,R1 etR2sont `a l’infini.
Conclusion : les 2 homographies ont 3 points communs et sont identiques.
Autrement dit,`a P fixe, R fixe.
Sur l’axe OG, origine en O, OG vecteur unitaire, avec a = OM/OG,la relation qui satisfait ces conditions est :
(xPxR−1) +a(xP −xR) = 0
Si P est en M,xP = aet xR = 1/2(a+ 1/a): R est le milieu de MD.
2
