La saga de la parabole : Episode 1

ENFA - Bulletin n°12 du groupe PY-MATH –mars 2004 page 61 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

La saga de la parabole : Episode 1

Le plan est rapporté à un repère orthogonal, on prendra comme échelle : - 1 cm pour 1 unité sur l’axe des abscisses.

- 1 cm pour 10 unités sur l’axe des ordonnées.

a) Construire la courbe C représentative de la fonction f définie sur [-14 ; 14] par f(x) = x

²

. b) Soit a et b deux réels positifs.

On note A le point de coordonnées ( -a ; a

²

), B ( b ; b

²

), K( -a ; 0 ) et M( b ; 0 ).

Compléter le tableau suivant :

a b A ( - a ; a

²

) B ( b ; b

²

)

Par lecture graphique, ordonnée du point I intersection de la droite (AB) avec l’axe des ordonnées

6 7 A (- 6 ; 36) B (7 ; 49) 42

2 11 5 7 10 3

8 9

c) Comparer les nombres des deux premières colonnes avec ceux de la dernière. Que constatez-vous ?

d) A l’aide du procédé que vous venez de découvrir calculer : 11 × 13 ; 14 × 13 ; 12 × 9 et 12 × 8.

e) Faire la preuve de cette curieuse multiplication, pour cela, à l'aide du graphique ci dessous prouver que OI = a.b.

Démonstration: on suppose a < b

D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles GFI et GEB on a :

b a

a a

b x

= +

−

²

2

2 2 2

) ) (

)(

( ) (

a ab x

a b b a

a

a b a b a b

a a b x a

−

=

− + =

−

= + +

= −

Or OF = a

²

et OI = OF + x

Donc OI = a

²

+ ab - a

²

= ab

^K

A

B

G E

I

O

M F

a b

a²

b² x

b²-a²

f) Remarque : Si l'on prend A( 6 ; 36 ) et B( 7 ; 49 ), la droite (AB) coupe l'axe des ordonnées en un point I' et on a I' ( 0 ; - 42 )

g) Pour les amateurs ou les curieux, est ce une propriété caractéristique de la parabole ?