D1835 − La saga des dichotomies (7ème épisode)
Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer
Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.
Déterminer le lieu du milieu M de [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.
Solution par Patrick Gordon
Pour toute position de PQ, le triangle ABC est décomposé en un petit triangle (qui comporte un des sommets ABC) et un quadrilatère (qui comporte les deux autres sommets).
Traitons du cas où le petit triangle est PAQ, pour fixer les idées. Nous compléterons plus loin.
Avec P sur AB et Q sur AC, notons :
AP = p AQ = q
Les coordonnées (obliques) de M dans le repère [AB, AC] sont donc (p/2, q/2).
Or l'aire du triangle ABC est ½ bc sinA et celle du triangle APQ est ½ pq sinA. Par construction donc : pq = bc/2 = S/sinA (S étant l'aire du triangle ABC) = constante.
Le produit des coordonnées de M (p/2, q/2) est donc aussi une constante = S/4sinA
Le lieu de M est donc un arc d'hyperbole d'asymptotes [AB, AC] et dont le grand axe est sur la bissectrice de l'angle BAC.
Son sommet correspond au cas p = q, donc p = q = √(S/sinA) et sa distance à A est donc :
√(S/sinA) cos(A/2).
Cette distance est le demi grand axe (le "a") de l'hyperbole. La demi distance focale "c" est donc : c = √(S/sinA) cos²(A/2)
Par ailleurs, quand P est au milieu de AB, Q est en C et, quand P est en B, Q est au milieu de AC.
Cet arc d'hyperbole est donc limité par les milieux des médianes issues de B et de C. Il est donc déterminé par trois points et ses asymptotes.
Dans les cas où le "petit triangle" est PBQ et PBQ respectivement, la solution est la même mutatis mutandis.
La réponse est donc que le lieu de M est formé de trois arcs d'hyperbole qui se rejoignent aux milieux des médianes.
