D1828. La saga des dichotomies ( 4
eme`´ episode)
Quand C d´ecrit Γ, I d´ecrit le cercleΓ1 d´efini par \AIB = 2ACB. Les in-\ tersections de Γ et de la m´ediatrice de AB sontO1, centre de Γ1, et le point oppos´e J. Soient K et L les intersections deΓ1 et de la m´ediatrice de AB.
A, B, P et Q sont co-cycliques:
BQP\ =BDP\ +QBD\
= 1/2 (BDC\ +CBD)\
= 1/2 (π−DCB) = 1/2\ BAC\ (DC tangent `aΓ)
=BAP\
Les triangles QIP et AIB sont donc semblables et M et N (milieu de AB) sont images l’un de l’autre : ⇒N IB\ =P IM\
Les droites IM et IN ont les mˆemes bissectrices que les droites IB et IA. Donc IM coupe la m´ediatrice de AB au point fixe J conjugu´e harmonique de N par rapport `a K et L. J est bien le milieu de l’arc AB deΓ qui contient C.
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