D1835. La saga des dichotomies (7ième épisode)
Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer
Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.
Déterminer le lieu du milieu M de [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va baser la discussion sur la suivante propriété, plus ou moins connue, qui relie l’hyperbole à ses asymptotes :
Solent le point courant sur une hyperbole . La tangente à en coupe les asymptotes en deux points, , tels que est le milieu du segment .
Remarque La propriété est très commode pour trouver des points d’une hyperbole dont on connait les asymptotes et un point
En particulier le lieu cherché sera constitué par trois morceaux d’hyperbole, dont un seul dessiné en figure.
Dans la figure on a noté les points-milieu de respectivement ; on a tracé en vert l’hyperbole de centre ayant les droites de et comme asymptotes ; les points sont les milieux de BB’ et CC’ respectivement ; et le morceau en rouge correspond aux points- milieu des segments avec variant de à et donc variant de à . Naturellement ce morceau sera parcouru une deuxième fois lorsque, renversant les rôles de et , varie de à . Remarque La droite de PQ décrit l’enveloppe du lieu.
