D1828. La saga des dichotomies (4ième épisode).
Soit un triangle scalène ABC inscrit dans un cercle (Γ). La tangente en C à ce cercle rencontre la droite (AB) au point D. Soit I le centre du cercle inscrit du triangle ABC. La bissectrice de l'angle BDC rencontre les droites AI et BI respectivement aux points P et Q. M étant le milieu de PQ, démontrer que la droite MI coupe l'arc AB qui contient C en son milieu.
Solución de Saturnino Campo Ruiz, Profesor de Matemáticas jubilado, de Salamanca.
Sean ; las bisectrices de los ángulos del triángulo ;
los excentros correspondientes a los vértices y del triángulo.
Sea el punto de corte de la bisectriz exterior de con la circunferencia circunscrita . .
Es el punto medio del arco que contiene a . El diámetro es la mediatriz del lado . Se trata de demostrar que los puntos y están alineados. Seguiremos varias etapas:
1. Las rectas y son paralelas: .
Un sencillo cómputo de ángulos en el triángulo nos da luego
Como , por tanto .
2. es el punto medio del segmento de los excentros .
es la circunferencia de Euler para el triángulo de los excentros. El vértice es el pie de la altura sobre el lado y el punto medio.
3. y están alineados
Los triángulos y son semejantes, por tanto los puntos medios de y de están alineados. Y con esto se concluye la demostración.
