D1826. La saga des dichotomies (2` eme)
Dans l’inversion (B, BC), AC est l’image du cercleΓ0 : BP.BL=BC2 Le cercle Γ2circonscrit `a PLC est centr´e sur CD, donc en N. De mˆeme,Γ1est centr´e en M.
DP K\ =KP L\ =LP C\ =π/4(arcs surΓ0)
G2`eme intersection deΓ2 avec CD,H2`eme intersection deΓ1 avec CD.
On a:
P HD\ =P KD\ (mˆeme arc surΓ1) CGP\ =CLP\ (mˆeme arc surΓ2)
donc les triangles DPK, GPH et LPC sont semblables, et on passe de l’un `a l’autre par une rotation de π/4autour de P, suivie d’une homoth´etie.
Umilieu de DK,V milieu de CL,Iintersection PQ/CD.U P V\ = π/2.
U et V se correspondent dans l’homoth´etie de centre Q qui transforme KM en NL, donc U, V et Q sont align´es. Cette homoth´etie a le mˆeme rapport que la similitude entre les triangles PDK et PLC.
U Q/U P =V Q/V P : PQ est la bissectrice deU P V\, etU P Q\ = QP V\ = π/4. Donc I est le milieu de GH, comme U et V sont les milieux de DK et de CL.
Enfin, par homoth´etie entre PGH et PAB, PQ passe par le milieu J de AB.
Nota: si ABCD est un rectangle, le raisonnement ci-dessus n’est plus valable et pourtant PQ passe par un point fixe de la m´ediatrice de AB!
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