L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚8
Exercice 1 : Soitn∈N. On noteRn[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´es inf´erieurs ou ´egaux `a n. Soit f l’application d´efinie par :
f: Rn[X]→Rn[X] ; P(X)7→P(X+ 1)−P(X).
1. Montrer que f est un endomorphisme de Rn[X].
2. L’application f est-elle injective ? surjective ? bijective ? 3. Dans cette question, on suppose que n = 2.
(a) D´eterminer la matrice de f dans la base canonique deR2[X].
(b) L’endomorphisme f est-il diagonlisable ? Si oui, pr´eciser ses ´el´ements propores.
Exercice 2 : Soit θ∈R+∗. Soit f la fonction d´efinie par : f: R→R; t 7→
2θte−θt2 si t >0 0 sinon.
1. Montrer quef est une densit´e de probabilit´es.
2. SoitX une variable al´eatoire admettantf pour densit´e.
(a) D´eterminer la fonction de r´epartition FX deX.
(b) Calculer l’esp´erance de X.
(c) Soit Y =θX2. Quelle est la loi de Y ?
