L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚6
D’apr`es un sujet pos´e lors de l’oral du concours A-TB 2011
Exercice 1 : Soit f la fonction d´efinie par :
f: x7→(x+ 1)2 arctan(x).
Etudier la fonction´ f et donner l’allure de sa repr´esentation graphique dans un rep`ere du plan.
Exercice 2 : Un gardien de nuit doit ouvrir une porte dans le noir. Il y a 10 cl´es sur son trousseau et une seule est la bonne.
On note X le nombre d’essais n´ecessaires pour trouver la bonne clef.
1. On suppose que le gardien essaie les clefs une `a une sans utiliser deux fois la mˆeme.
Donner la loi deX, son esp´erance et sa variance.
2. On suppose enfin que le gardien est ivre, de sorte qu’il m´elange toutes les cl´es apr`es chaque tentative.
Donner la loi deX, son esp´erance et sa variance.
3. On suppose maintenant que le gardien est ivre un jour sur trois.
(a) Soit n∈N∗. Sachant qu’un journtentatives ont ´et´e n´ecessaires pour ouvrir la porte, quelle est la probabilit´epn que le gardien ait ´et´e ivre ce jour l`a ?
(b) ´Etudier la limite ´ev´entuelle de (pn)n∈N∗ quand n tend vers l’infini.
