PSI* — 2019/2020 — Révisions par chapitres — Probas no 7 Page 1 7. (Mines) Deux variables aléatoires indépendantes X et Y sur un même espace suivent une même loi
géométrique de paramètre p. Donner la loi de|X−Y|.
On note T = max (X, Y) et U = min (X, Y) ; exprimer T+U, T −U et T U en fonction de X et Y. Donner Cov (T, U). Donner la loi deU, l’espérance et la variance deU.
Solution : par définition d’une loi géométrique (temps d’attente du premier succès), l’ensemble des valeurs prises par X (resp. Y) est N∗. Il en résulte que l’ensemble des valeurs prises par ∆ =|X−Y| est Net je peux écrire
(∆ = 0) =
∞
k=1
(X=k, Y =k) et, pour ndansN∗,
(∆ =n) =
∞
k=1
(X=n+k, Y =k) ∪
∞
k=1
(X=k, Y =n+k) .
Les unions ci-dessus sont formées d’événements incompatibles deux à deux, d’où parσ-additivité et par indépendance de X etY :
P(∆ = 0) =
∞
k=1
p2(1−p)2k−2= p2
1−(1−p)2 = p 2−p et
∀n∈N∗ P(∆ =n) = 2
∞
k=1
p2(1−p)n+2k−2 = 2p(1−p)n 2−p . Par définition de T et U, il vient immédiatement
T+U =X+Y,T −U =|X−Y|etT U =XY.
J’utilise la relationCov (T, U) =E(T U)−E(T)E(U)(l’existence de ces espérances étant assurée par, d’une part T U =XY où X etY admettent une variance, d’autre part 0 ≤T ≤X+Y etU ≤X où X etY admettent une espérance). J’ai grâce à l’indépendance deX etY
E(T U) =E(XY) = 1 p2.
De plus, d’après la question précédente T etU s’expriment en fonction deX,Y et ∆ =|X−Y|: T = 1
2(X+Y + ∆) et U = 1
2(X+Y −∆).
Compte tenu de la linéarité de l’espérance, il me suffit de calculer E(∆), qui existe bien d’après l’expression de la loi de ∆obtenu ci-dessus et vaut
E(∆) =
∞
n=1
nP(∆ =n) = 2p(1−p) 2−p
∞
n=1
n(1−p)n−1 = 2 (1−p) p(2−p). Il vient alors
E(T) = 1 2
1 p+1
p +2 (1−p)
p(2−p) = 3−2p
p(2−p) et E(U) = 1 p(2−p). D’où finalement
Cov (T, U) = 1
p2 − 3−2p
p2(2−p)2 = 1−p p(2−p)
2
. Pour déterminer la loi deU, je remarque que, pour tout ndansN,
(U > n) = (X > n, Y > n) or classiquement
P(X > n) =P(Y > n) =
∞
k=n+1
p(1−p)k−1= (1−p)n d’où par indépendance P(U > n) = (1−p)2n et j’en déduis, pourn∈N∗,
P(U =n) =P(U > n−1)−P(U > n) = 1−(1−p)2 (1−p)2
n−1
. Je constate donc que
U suit la loi géométrique de paramètre 1−(1−p)2 =p(2−p).
Cela confirme (heureusement !) la valeur de E(U) et la variance est connue :
V (U) = (1−p)2 p(2−p) 2.
