? Spé - St Joseph/ICAM Toulouse ? - 2018-2019 -
Math. – ES 2 - S2 – Analyse-Probabilités
jeudi 23 mai 2019 - Durée 2 h
Toutes les réponses seront justifiées. La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction.
PROBLEME 1
On considère les fonctionsF etGdéfinies par :
F(x) = Z +∞
0
e−xtsin(t)
t dt et G(x) =
Z +∞
0
e−xtcos(t)
x dt
1. Montrer que pour tout réelt >0 :
|sin(t)|
t ≤1 2. Montrer queF etGsont définies surR∗+.
3. Soientaet bdeux réels tels que0< a < b.
Montrer queF etGsont de classeC1 sur[a, b]. Que conclure ?
4. Pour tout réelx >0, comparerF0(x)etG(x).
On pensera à remarquer queG(x) = lim
X→+∞
Z X
0
e−xtsin(t)
x dt
!
, afin de pouvoir intégrer par parties.
5. Montrer que pour tout réelx >0 :
F0(x) =− 1 1 +x2 6. Montrer queF a une limite nulle lorsquextend vers+∞.
7. Déduire des questions précédentes l’expression deF(x)pour tout réelx >0.
8. On admet que
x→0lim Z +∞
0
e−xtsin(t)
t dt
= Z +∞
0 x→0lim
e−xtsin(t) t
dt En déduire la valeur de
Z +∞
0
sin(t) t dt
T.S.V.P.
1
PROBLEME 2
On rappelle qu’une variable aléatoireX suit une loi géométrique de paramètrep∈]0,1[si
∀n∈N∗, P(X =n) =p(1−p)n−1 1. SoitX une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p.
a. Calculer pour toutn∈N,P(X > n).
b. Soit(Xk)k∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètrep.
On note T le rang du premier succès obtenu :
T =inf{k≥1, Xk = 1}
Montrer queT a la même loi queX.
2. SoientX etY deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètrep.
a. Rappeler le développement en série entière en 0 def :x7→ 1
1−x, ainsi que le rayon de convergence.
b. En déduire le développement en série entière en 0 de g:x7→ 1
(1−x)2, ainsi que le rayon de convergence.
c. Calculer la fonction génératrice deX.
d. En déduire la fonction génératrice de X+Y.
e. En déduire que pour tout n≥2,P(X+Y =n) =p2(n−1)(1−p)n−2.
f. Déterminer, pour n≥2la loi deX sachantX+Y =n.
3. On considère toujoursX et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre p. On poseT =max(X, Y)etZ =min(X, Y). On poseq= 1−p.
a. Exprimer X+Y et|X−Y|en fonction deZ etT.
b. Montrer queP(X =Y) = p 1 +q. c. Calculer pour toutn∈N,P(Z > n).
d. En déduire que Z suit une loi géométrique de paramètre1−q2.
e. Calculer pour toutn∈N∗,P(T ≤n).
f. En déduire la loi deT.
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