Sujet d’oral blanc n˚6

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Sujet d’oral blanc n˚6

Exercice 1

Pour tout n∈N^∗, on pose :

I_n= Z 1

0

xⁿ 1 +xⁿ dx.

1. Soitn∈N^∗.

(a) Justifier que I_n est bien d´efini.

(b) Montrer que :

I_n = ln(2) n − 1

n Z 1

0

ln(1 +xⁿ)dx.

(c) Montrer que :

0≤In≤ ln(2) n .

2. En d´eduire que la suite (In)n∈N^∗ converge et pr´eciser sa limite.

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n (n ∈ N^∗). Soit f un endomorphisme de E qui v´erifie :

f²−3f + 2id_E = 0.

1. Montrer que Ker(f) ={0_E}. Que peut-on en d´eduire ? 2. D´eterminer Im(f).

3. Exprimer f⁻¹ en fonction de f et de id_E.

4. Montrer que si λ∈R est valeur propre def, alorsλ ∈ {1,2}.

5. On suppose ici que 2 est valeur propre de f et on note E₂ le sous-espace propre associ´e

`

a la valeur propre 2. Montrer que :

Im(f −id_E)⊂E₂.