L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚5
D’apr`es un sujet pos´e lors de l’oral du concours A-TB 2011.
Exercice 1 : Soit n∈ N∗ et soir E =Rn[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels, de degr´es inf´erieurs ou ´egaux `a n.
1. Donner la dimension de E.
2. Pour tout k∈J0, nK, on pose :
Bk =Xk(1−X)n−k.
Montrer que la famille (Bk)0≤k≤nest une base deE.Indication : on pourra montrer qu’une combinaison lin´eaire nulle de la famille (Bk)0≤k≤n a son terme constant nul.
3. Soitu l’application d´efinie par :
u: E →E ; f 7→
n
X
k=0
n k
f
k n
Bk.
(a) Montrer que uest un endomorphisme de E. (b) D´eterminer Ker(u).
Exercice 2 : Soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes. On suppose queX suit la loi g´eom´etrique de param`etre a (a ∈]0,1[) et que Y suit la loi g´eom´etrique de param`etre b (b∈]0,1[).
On introduit la variable al´eatoire Z d´efinie par : Z =
X−Y siX > Y 0 sinon.
1. Pr´ecizer l’ensemble des valeurs prises par Z.
2. Calculer P(Z = 0).
3. Calculer P(Z =k) pour tout k∈N∗. 4. Calculer E(Z).
