L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚3
Les deux exercices forment un sujet complet, pos´e lors de l’oral du concours A-TB 2011.
Exercice 1
1. Soit I = [2,+∞[ et soitf la fonction d´efinie par :
f:I →R; t 7→ 1 t (ln(t))2.
(a) Montrer que la fonction f est bien d´efinie, continue sur I et d´ecroissante sur I.
(b) D´eterminer une primitive F def surI.
(c) D´emontrer que pour tout entier naturel k sup´erieur ou ´egal `a 2, on a :
f(k+ 1)≤F(k+ 1)−F(k)≤f(k).
2. Pour tout entier natureln sup´erieur ou ´egal `a 2, on pose :
un= 1
ln(n) et vn= u2n n .
(a) Montrer que la suite (vn)n∈N≥2 est d´ecroissante et que pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 3 :
vn≤un−1−un.
(b) Pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 3, on pose :
wn=
n
X
k=3
1 k (ln(k))2.
Montrer que la suite (wn)n∈N≥2 converge.
Exercice 2 : On dispose de 5 d´es cubiques normaux. On les lance tous les 5. Apr`es ce premier lancer, on relance uniquement les d´es qui ont donn´e un r´esultat diff´erent de l’as. On recommence cette op´eration jusqu’`a avoir 5 as.
On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de lancers effectu´es et Xi la variable al´eatoire
´
egale au nombre de lancers effectu´es pour que le d´e n˚i donne un as (i∈ {1,2,3,4,5}).
1. Soiti∈ {1,2,3,4,5}. D´eterminer la loi de Xi.
2. D´eterminer la fonction de r´epartition FX de la variable al´eatoireX.
3. D´eterminer la loi de X.
4. CalculerE(X).
