L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Concours blanc
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Exercice de probabilit´ es (extrait du sujet du concours A-TB 2009)
Dans cet exercice, la probabilit´e de l’´ev´enement A sera not´ee P(A).
Nous disposons de trois d´es ´equilibr´es, chacun ayant quatre faces num´erot´ees de 1 `a 4. L’un des d´es est rouge, un autre est bleu et le dernier est vert.
1. Nous jetons les trois d´es simultan´ement. X d´esigne la variable al´eatoire qui donne le maximum des trois nombres amen´es par les d´es.
1.1. Quelles sont les valeurs prises par X? 1.2. D´eterminer la fonction de r´epartition deX.
1.3. En d´eduire la loi de X.
2. Nous jetons les trois d´es simultan´ement et on note X1, X2, X3 les nombres amen´es res- pectivement par le d´e rouge, le d´e bleu et le d´e vert.
2.1. SoitY la variable al´eatoire donnant la somme des nombres amen´es par les d´es rouge et bleu.
2.1.1. D´eterminer explicitement les couples (a, b) d’entiers de {1,2,3,4} tels que : (a)a+b= 3, (b)a+b= 6, (c)a+b= 8.
2.1.2. D´eterminer l’ensembleI des valeurs prises par Y.
2.1.3. D´eterminer la loi deY en compl´etant le tableau suivant. On justifiera les r´eponses.
i 2 3 4 5 6 7 8
P(Y =i)
1
2.2. SoitZ la variable al´eatoire donnant la somme des nombres amen´es par les trois d´es.
2.2.1. D´eterminer l’ensembleJ des valeurs prises parZ.
2.2.2. Justifier que : ∀j ∈J, P(Z =j) =
8
X
i=2
P(Y =i et X3 =j−i).
2.2.3. D´emontrer que P(Z = 5) = 3 32.
2.2.4. D´eterminer la probabilit´e que la somme des nombres amen´es par les trois d´es soit un multiple de 5.
3. Nous jetons les trois d´es et nous calculons la somme des nombres amen´es par les trois d´es. Et tant que cette somme n’est pas un multiple de 5, nous recommen¸cons le lancer des trois d´es.
N d´esigne le nombre de lancers r´ealis´es pour obtenir cette somme multiple de 5.
Reconnaˆıtre la loi de N et pr´eciser son esp´erance.
Exercice d’alg` ebre lin´ eaire (d’apr` es le sujet du concours A-TB 2008)
Dans tout l’exerice,a d´esigne un nombre r´eel appartenant `a ]2,+∞[.
1. Puissance d’une matrice
Soit M la matrice carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels d´efinie par : M =
a 1−a
1 0
.
1.1. Spectre de M
1.1.1. Factoriser√ a2 −4a+ 4. En d´eduire que a2−4a+ 4 ≥0 et calculer la valeur de a2−4a+ 4.
1.1.2. D´eterminer l’ensemble Spec(M) ={λ∈R : rang(M −λI2)6= 2}.
1.2. Sous-espaces propres de M 1.2.1. D´emontrer que E1 =
x y
∈R2 : M x
y
= x
y
est un sous-espace vec- toriel de R2. En donner une base et pr´eciser sa dimension.
1.2.2. D´emontrer que Ea−1 = x
y
∈R2 : M x
y
= (a−1) x
y
est un sous- espace vectoriel de R2. En donner une base et pr´eciser sa dimension.
1.3. Diagonalisation de M
On note E = (e1, e2) la base canonique de R2,ϕ l’endomorphisme de R2 canonique- ment associ´e `a M etidR2: R2 →R2 ; u7→u (endomorphisme identit´e de R2).
1.3.1. Montrer que la famille F =
f1 = 1
1
, f2 =
a−1 1
est une base de R2. 1.3.2. Calculer la matrice Dd´efinie par : D= Mat(ϕ,F,F).
1.3.3. Calculer la matrice P d´efinie par : P = Mat(idR2,F,E).
1.3.4. Justifier, sans effectuer de calcul, que :
(a) P est inversible, (b)M =P DP−1.
2
1.4. Puissances successives de M
1.4.1. Montrer que : ∀n ∈N, Mn=P DnP−1. 1.4.2. Calculer P−1.
1.4.3. Calculer Dn, pour tout entier naturel n.
1.4.4. En d´eduire que :
∀n ∈N, Mn= 1 2−a
1−(a−1)n+1 1−a+ (a−1)n+1 1−(a−1)n 1−a+ (a−1)n
.
2. Calcul des termes cons´ecutifs d’une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2
Soit (un)n∈Nla suite d´efinie par ses deux premiers termesu0, u1et la relation de r´ecurrence : un+2 =a un+1+ (1−a)un
valable pour toutn ∈N.
2.1. Pour tout entier natureln, on poseXn=
un+1
un
. 2.1.1. Soit n ∈N. Reconnaˆıtre le produit M Xn.
2.1.2. Montrer que pour tout entier naturel n : Xn =MnX0.
2.2. En utilisant la partie 1., exprimer pour tout entier natureln, le terme unen fonction den, a, u0 et u1.
Probl` eme d’analyse (extrait du sujet du concours A-TB 2009)
Consid´erons la suiteu d´efinie par : ∀n∈N∗, un=
n
X
k=1
(−1)k−1 k .
1. Convergence de la suite u
1.1. Soit n un entier naturel non nul.
1.1.1. Montrer que pour tout entier naturel non nul k : 1 k =
Z 1
0
xk−1 dx.
1.1.2. En d´eduire que : un= Z 1
0
1−(−x)n 1 +x dx, puis que : un= ln(2) + (−1)n+1
Z 1
0
xn 1 +x dx.
1.2. Soit n un entier naturel non nul.
En encadrant la fonction x7→ 1
1 +x sur [0,1], montrer que : 1
2(n+ 1) ≤ Z 1
0
xn
1 +x dx ≤ 1 n+ 1. 1.3. Etablissons la convergence de la suite´ u.
1.3.1. Montrer que : ∀n ∈N∗, |un−ln(2)| ≤ 1 n+ 1.
1.3.2. En d´eduire, avec soin, que la suiteu converge et pr´eciser sa limite.
3
1.4. Vitesse de convergence
A l’aide de la question 1.3.1., d´` eterminer un entier naturel ptel que :
|up−ln(2)| ≤10−4. 2. Acc´el´eration de la convergence de la suite u
2.1. A l’aide d’une int´` egration par parties, montrer que :
∀n∈N∗, Z 1
0
xn
1 +x dx= 1
2(n+ 1) + 1 n+ 1
Z 1
0
xn+1 (1 +x)2 dx.
2.2. En d´eduire que : ∀n∈N∗, un= ln(2) + (−1)n+1
2(n+ 1) + (−1)n+1 n+ 1
Z 1
0
xn+1 (1 +x)2 dx.
2.3. Consid´erons la suite ν d´efinie par : ∀n∈N∗, νn= 2u4n−1−u2n−1. 2.3.1. Montrer que : ∀n ∈N∗, νn= ln(2) + 1
2n Z 1
0
x2n(x2n−1) (1 +x)2 dx.
2.3.2. Montrer que : ∀n ∈N∗,
Z 1
0
x2n(x2n−1) (1 +x)2 dx
≤ 1 2n+ 1. 2.3.3. En d´eduire que : ∀n∈N∗, |νn−ln(2)| ≤ 1
4n2.
2.4. Concluons sur la convergence et la rapidit´e de convergence de la suite ν.
2.4.1. Montrer, avec soin, que la suite ν converge vers ln(2).
2.4.2. A l’aide de la question 2.3.3., d´` eterminer un entier naturel q tel que :
|νq−ln(2)| ≤10−4. 2.5. Algorithme de calcul des termes de la suite ν
2.5.1. Montrer que : ∀n ∈N∗, νn=
2n−1
X
k=1
(−1)k−1 k
! + 2
4n−1
X
k=2n
(−1)k−1 k
! .
2.5.2. n d´esigne un entier naturel non nul.
Recopier et compl´eter les cadres de l’algorithme de calcul de νn suivant.
x← signe←1
pourkallant de 1 `a faire
x←x+signe / k signe←
pourkallant de `a faire
x← signe←
4
