L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Planche n˚2
Noyaux et images d’un endomorphisme et de son it´er´e seconde
N N N
Calculs de lois - cas fini
N N N
Couples de variables al´eatoires - cas fini
Les deux exercices forment un sujet complet, pos´e lors de l’oral du concours A-TB 2011.
Exercice 1 : Noyaux et images d’un endomorphisme et de son it´er´e seconde
Soit E unR-espace vectoriel. Soit f: E →E un endomorphisme de E.
1. Montrer que Im(f2)⊂Im(f) et que Ker(f)⊂Ker(f2).
2. Montrer que :
E = Ker(f) + Im(f) ⇐⇒ Im(f) = Im(f2).
3. Montrer que :
Ker(f) ∩ Im(f) ={0E} ⇐⇒ Ker(f) = Ker(f2).
Exercice 2 : Calculs de lois et couple de variables al´eatoires - cas fini
Soit n ∈ N≥3. Une urne contient 2 boules blanches et n−2 boules noires. On tire au hasard, l’une apr`es l’autre, toutes les boules de cette urne. On note
X la variable al´eatoire ´egale au rang de la premi`ere boule blanche tir´ee ; Y la variable al´eatoire ´egale au rang de la deuxi`eme boule blanche tir´ee.
1. D´eterminer X(Ω) puis la loi de X.
2. D´eterminer Y(Ω) puis la loi de Y. 3. CalculerE(X) et V(X).
4. CalculerE(Y) et V(Y).
