L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚5
Exercice 1
Deux urnes A et B contiennent chacune n boules num´erot´ees de 1 `a n (n ∈ N≥3). On tire une boule de A et une boule de B dont l’on note les num´eros respectifs a et b. On note E l’´ev´enement d´efini par :
E = le rapport a
b est un nombre entier.
1. (a) Calculer la probabilit´e P(E) dans le cas o`u n= 3.
(b) Calculer la probabilit´e P(E) dans le cas o`u n= 4.
(c) Calculer la probabilit´e P(E) dans le cas g´en´eral.
2. (a) Donner un encadrement de P(E).
(b) Montrer que :
∀i∈N≥2
Z i+1 i
1
x dx≤ 1 i ≤
Z i i−1
1 x dx.
(c) En d´eduire un ´equivalent de P(E) quand n tend vers +∞.
Exercice 2
Soit A la matrice d´efinie par :
A=
−5 2 2
−3 1 1
−9 4 4
.
1. La matrice A est-elle inversible ? 2. Calculer A2 et A3.
3. En d´eduire An, pour tout n∈N.
