L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚3
Exercice 1
On consid`ere la fonction f d´efinie par :
f: x7→ 1 sinx. 1. Donner le domaine de d´efinition Df de f.
2. Expliquer pourquoi f n’est pas une bijection deDf dans R. 3. On note g la restriction de f `a l’intervallehπ
2;πh
.Montrer queg r´ealise une bijection de hπ
2;πh
dans un intervalle I que l’on pr´ecisera. On note g−1 la fonction r´eciproque de g.
4. Donner le domaine de d´efinition et le domaine de d´erivabilit´e de g−1. 5. Calculer la d´eriv´ee de g−1.
Exercice 2
Soit (a, b, c) ∈ R3 tel que a2 +b2 +c2 = 1. On consid`ere l’endomorphisme f de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est :
A =
a2 ba ca ba b2 bc ca bc c2
.
1. D´eterminer Ker(f) et Im(f).
2. Calculerf(a, b, c).
3. f est-il diagonalisable ?
