Lyc´ee Benjamin Franklin PT − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚3
L’exercice 1 est `a r´ealiser au tableau, l’exercice 2 avec l’aide de Maple
Exercice 1 (Matrices)
Soit n un nombre entier sup´erieur ou ´egal `a 2. Soit (a1, . . . , an−1) ∈ Cn−1. On consid`ere la matrice Ade Mn(C) d´efinie par :
A:=
0 . . . 0 a1
... ... ...
0 . . . 0 an−1
a1 . . . an−1 0
.
1. Quel est le rang deA?
2. Que peut-on d´eduire de la trace deA quant aux valeurs propres de A? 3. La matrice A est-elle diagonalisable sur C?
Exercice 2 (EDL1 avec une singularit´e) Soit (E) l’´equation diff´erentielle d´efinie par :
(E) : |x|y′+ (x−1)y=x3.
1. D´eterminer toutes les fonctions qui sont solution de (E) sur R∗.
2. D´eterminer toutes les fonctions qui sont continues surR et solution de (E) sur R∗, puis afficher 10 courbes repr´esentatives de telles fonctions.
3. R´esoudre l’´equation (E) sur R.
