L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚2
Exercice 1
Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n, avec n ∈ N∗. Soit f ∈ L(E). On suppose qu’il existe p∈N∗ tel que :
fp =f ◦f ◦. . .◦f
| {z }
pfois
= 0 et fp−1 6= 0.
1. Montrer que pour toutx∈E :
fp−1(x)6= 0 =⇒ la famille (x, f(x), . . . , fp−1(x)) est libre.
Que peut-on en d´eduire pour p?
2. Montrer queidE +f est un endomorphisme bijectif deE.
3. Calculer
(idE +f)◦
p−1
X
k=0
(−1)kfk
! . En d´eduire (idE +f)−1.
Exercice 2
Soit N un nombre entier naturel plus grand ou ´egal `a 3. N individus jettent chacun une pi`ece correcte. Une personne gagne lorsqu’elle obtient un r´esultat (PILE ou FACE) diff´erent de tous les autres.
1. Quelle est la probabilit´e que la partie comporte un gagnant ?
2. Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre de parties n´ecessaires `a l’obtention d’un gagnant. Donner la loi de X, son esp´erance et sa variance.
