Lyc´ee Benjamin Franklin PT − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚2
L’exercice 1 est `a r´ealiser au tableau, l’exercice 2 avec l’aide de Maple
Exercice 1 (Suites r´ecurrentes et s´eries)
Soit (un)n∈N la suite r´eelle d´efinie par la donn´ee deu0 ∈R≥0 et la relation de r´ecurrence
un+1 = e−un n+ 1 valable pour tout entier naturel n.
1. Etudier la limite ´eventuelle de la suite (´ un)n∈N.
2. Etudier la limite ´eventuelle de la suite (v´ n)n∈N d´efinie par :
vn=n un
pour tout entier naturel n.
3. D´eterminer la nature de la s´erieX un.
4. D´eterminer la nature de la s´erieX
(−1)nun.
Exercice 2 (Puissances d’une matrice)
Soit la matrice A deM3(R) d´efinie parA :=
−19 10 4 10 −10 14 4 14 −7
.
SiP =
n
X
k=0
akXk∈R[X], alors on d´efinit P(A)∈ M3(R) par P(A) :=
n
X
k=0
akAk.
1. Calculer le polynˆome caract´eristique, not´eQ, de la matrice A.
2. Calculer Q(A) .
3. D´emontrer qu’il existe P10∈R2[X] tel que P10(A) =A10.
4. G´en´eraliser le r´esultat de la question 3 en d´emontrant que pour tout n ∈ N≥3 il existe Pn ∈R2[X] tel que Pn(A) =An.
