Lyc´ee Benjamin Franklin PT − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚5
L’exercice 1 est `a r´ealiser au tableau, l’exercice 2 avec l’aide de Maple
Exercice 1 (S´eries de Fourier) Soit f la fonction d´efinie par :
f : R → R
x 7→ sin(|x|) .
1. Calculer les coefficients de Fourier de f. 2. Calculer les trois sommes :
(a)
+∞
X
n=1
1
4n2−1 (b)
+∞
X
n=1
(−1)n
4n2−1 (c)
+∞
X
n=1
1 (4n2−1)2 en justifiant leur existence en cours d’´etude.
Exercice 2 (Une base de R6[X]) Pour tout k ∈J0,6K, on pose :
Pk := (X−k)k(X+k)6−k.
1. Montrer que B:= (P0, P1, P2, P3, P4, P5, P6) est une base de R6[X].
2. D´eterminer la d´ecomposition de Q:=
6
X
i=0
Xi dans la base B.
